Страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.27. Через вершину $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) проведена плоскость $\beta$, параллельная прямой $AC$. Найдите проекцию гипотенузы $AB$ на плоскость $\beta$, если $BC = 20$ см, $AC = 15$ см, а проекция катета $BC$ на эту плоскость равна 12 см.

Пусть $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — ортогональные проекции вершин $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ на плоскость $\beta$.

Поскольку плоскость $\beta$ проходит через вершину $B$, проекция точки $B$ на эту плоскость совпадает с самой точкой, то есть $B_1 \equiv B$.

Проекцией катета $BC$ на плоскость $\beta$ является отрезок $BC_1$. По условию задачи, его длина равна 12 см. Отрезок $CC_1$ является перпендикуляром, опущенным из точки $C$ на плоскость $\beta$. Следовательно, $\triangle BCC_1$ является прямоугольным, где $BC$ — гипотенуза, а $BC_1$ и $CC_1$ — катеты. Длина $CC_1$ представляет собой расстояние от точки $C$ до плоскости $\beta$. Найдем его по теореме Пифагора:

$CC_1^2 = BC^2 - BC_1^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$

$CC_1 = \sqrt{256} = 16$ см.

По условию, прямая $AC$ параллельна плоскости $\beta$. Это означает, что все точки прямой $AC$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\beta$. Таким образом, расстояние от точки $A$ до плоскости $\beta$ (длина перпендикуляра $AA_1$) равно расстоянию от точки $C$ до плоскости $\beta$.

$AA_1 = CC_1 = 16$ см.

Теперь найдем длину гипотенузы $AB$ в исходном прямоугольном $\triangle ABC$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$

$AB = \sqrt{625} = 25$ см.

Проекцией гипотенузы $AB$ на плоскость $\beta$ является отрезок $A_1B$. Так как $AA_1$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, то $\triangle AA_1B$ является прямоугольным с гипотенузой $AB$. Длину катета $A_1B$, который и является искомой проекцией, найдем по теореме Пифагора:

$A_1B^2 = AB^2 - AA_1^2 = 25^2 - 16^2 = 625 - 256 = 369$

$A_1B = \sqrt{369} = \sqrt{9 \cdot 41} = 3\sqrt{41}$ см.

Ответ: $3\sqrt{41}$ см.

11.28. Сторона $AD$ ромба $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$. Прямая $BC$ удалена от плоскости $\alpha$ на $3$ см. Найдите проекции на плоскость $\alpha$ отрезков $CD$, $AC$ и $BD$, если $AC = 8$ см, $BD = 6$ см.

Пусть $ABCD$ – данный ромб. Сторона $AD$ лежит в плоскости $\alpha$. Прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ (так как $ABCD$ – ромб), следовательно, прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Расстояние от прямой $BC$ до плоскости $\alpha$ равно 3 см, это означает, что расстояние от любой точки на прямой $BC$ до плоскости $\alpha$ равно 3 см. Пусть $B'$ и $C'$ – проекции точек $B$ и $C$ на плоскость $\alpha$. Тогда $BB' = 3$ см и $CC' = 3$ см. Так как точки $A$ и $D$ лежат в плоскости $\alpha$, их проекции совпадают с самими точками.

Проекцией отрезка $CD$ на плоскость $\alpha$ будет отрезок $C'D$.
Проекцией отрезка $AC$ на плоскость $\alpha$ будет отрезок $AC'$(так как проекция точки $A$ есть сама точка $A$).
Проекцией отрезка $BD$ на плоскость $\alpha$ будет отрезок $B'D$ (так как проекция точки $D$ есть сама точка $D$).

Найдем сторону ромба. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. В прямоугольном треугольнике $AOD$ катеты равны $AO = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см и $DO = \frac{BD}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AD$, которая является стороной ромба:$AD = \sqrt{AO^2 + DO^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.Все стороны ромба равны, значит $CD = 5$ см.

Проекция отрезка CD

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CC'D$ (угол $CC'D = 90^\circ$), где $CD$ – наклонная, $CC'$ – перпендикуляр к плоскости $\alpha$, $C'D$ – проекция $CD$ на плоскость $\alpha$. По теореме Пифагора:$CD^2 = CC'^2 + C'D^2$$C'D = \sqrt{CD^2 - CC'^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.Ответ: 4 см.

Проекция отрезка AC

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC'$ (угол $AC'C = 90^\circ$), где $AC$ – наклонная, $CC'$ – перпендикуляр, $AC'$ – проекция $AC$ на плоскость $\alpha$. По теореме Пифагора:$AC^2 = AC'^2 + CC'^2$$AC' = \sqrt{AC^2 - CC'^2} = \sqrt{8^2 - 3^2} = \sqrt{64 - 9} = \sqrt{55}$ см.Ответ: $\sqrt{55}$ см.

Проекция отрезка BD

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BB'D$ (угол $BB'D = 90^\circ$), где $BD$ – наклонная, $BB'$ – перпендикуляр, $B'D$ – проекция $BD$ на плоскость $\alpha$. По теореме Пифагора:$BD^2 = B'D^2 + BB'^2$$B'D = \sqrt{BD^2 - BB'^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.Ответ: $3\sqrt{3}$ см.

11.29. Вершины $A$ и $B$ прямоугольника $ABCD$ принадлежат плоскости $\alpha$, а вершины $C$ и $D$ не принадлежат этой плоскости. Найдите расстояние от прямой $CD$ до плоскости $\alpha$, если $AB = 5$ см, $BC = 12$ см, а проекция диагонали прямоугольника на плоскость $\alpha$ равна $2\sqrt{22}$ см.

Пусть $ABCD$ - данный прямоугольник, а $\alpha$ - данная плоскость.

По условию, вершины $A$ и $B$ прямоугольника принадлежат плоскости $\alpha$. Следовательно, вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$.

В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны параллельны, поэтому $CD \parallel AB$.

Поскольку прямая $CD$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $AB$, которая лежит в плоскости $\alpha$, то прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$ ($CD \parallel \alpha$).

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от точки $C$ до плоскости $\alpha$. Опустим перпендикуляр $CC_1$ из точки $C$ на плоскость $\alpha$. Длина отрезка $CC_1$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим диагональ $AC$. Поскольку точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, ее проекцией на эту плоскость является сама точка $A$. Проекцией точки $C$ на плоскость $\alpha$ является точка $C_1$. Следовательно, отрезок $AC_1$ является проекцией диагонали $AC$ на плоскость $\alpha$. По условию, длина этой проекции равна $AC_1 = 2\sqrt{22}$ см.

Отрезок $AC$ является наклонной к плоскости $\alpha$, $AC_1$ - ее проекцией, а $CC_1$ - перпендикуляром. Следовательно, треугольник $ACC_1$ является прямоугольным с прямым углом $C_1$. По теореме Пифагора: $AC^2 = AC_1^2 + CC_1^2$

Найдем длину диагонали $AC$ из прямоугольного треугольника $ABC$ (угол $B = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$ Подставим известные значения $AB = 5$ см и $BC = 12$ см: $AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ $AC = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь вернемся к треугольнику $ACC_1$ и найдем искомое расстояние $CC_1$: $CC_1^2 = AC^2 - AC_1^2$ $CC_1^2 = 13^2 - (2\sqrt{22})^2 = 169 - 4 \cdot 22 = 169 - 88 = 81$ $CC_1 = \sqrt{81} = 9$ см.

Таким образом, расстояние от прямой $CD$ до плоскости $\alpha$ равно 9 см.

Ответ: 9 см.

11.30. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите расстояние между прямыми $B_1D_1$ и $AA_1$.

Прямые $B_1D_1$ и $AA_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Прямая $AA_1$ является боковым ребром куба, поэтому она перпендикулярна плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$. Прямая $B_1D_1$ является диагональю верхнего основания и, следовательно, целиком лежит в этой плоскости.

Поскольку прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$, то расстояние от прямой $AA_1$ до любой прямой, лежащей в этой плоскости, равно расстоянию от точки пересечения прямой $AA_1$ с этой плоскостью до прямой в плоскости. Точкой пересечения прямой $AA_1$ и плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ является вершина $A_1$.

Следовательно, задача сводится к нахождению расстояния от точки $A_1$ до прямой $B_1D_1$ в плоскости квадрата $A_1B_1C_1D_1$.

Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из вершины $A_1$ на диагональ $B_1D_1$. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть $O_1$ — точка пересечения диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$. Тогда отрезок $A_1O_1$ является перпендикуляром к $B_1D_1$, и его длина есть искомое расстояние.

Найдем длину диагонали $A_1C_1$ квадрата $A_1B_1C_1D_1$ со стороной $a$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle A_1B_1C_1$:
$A_1C_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Так как $O_1$ является серединой диагонали $A_1C_1$, то искомое расстояние равно:
$\rho(AA_1, B_1D_1) = A_1O_1 = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

11.31. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, равно $a$. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ куба. Найдите расстояние между прямыми $CD$ и $OO_1$.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$. Точка $O$ — центр нижней грани $ABCD$, а точка $O_1$ — центр верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Прямая $OO_1$ соединяет центры оснований куба, следовательно, она перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$.

Прямая $CD$ лежит в плоскости $(ABCD)$. Так как прямая $OO_1$ не лежит в плоскости $(ABCD)$ и не параллельна прямой $CD$ (поскольку $OO_1$ перпендикулярна всей плоскости, в которой лежит $CD$, но не пересекает $CD$), то прямые $CD$ и $OO_1$ являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Одним из методов нахождения этого расстояния является метод проекций.

Спроецируем прямую $OO_1$ на плоскость $(ABCD)$. Поскольку прямая $OO_1$ перпендикулярна этой плоскости, ее проекцией будет точка пересечения с плоскостью, то есть точка $O$. Прямая $CD$ лежит в этой же плоскости, поэтому она проецируется сама на себя.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $CD$ и $OO_1$ равно расстоянию между их проекциями на перпендикулярную к одной из них плоскость. В данном случае, оно равно расстоянию от точки $O$ до прямой $CD$ в плоскости $(ABCD)$.

Рассмотрим квадрат $ABCD$. Точка $O$ — его центр. Расстояние от центра квадрата до его стороны равно половине длины стороны. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OK$ к стороне $CD$, где $K$ — середина отрезка $CD$. Длина этого перпендикуляра $OK$ равна половине длины ребра $AD$, которое параллельно и равно отрезку, соединяющему середины противолежащих сторон. Таким образом, $OK = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$.

Убедимся, что $OK$ является общим перпендикуляром к прямым $CD$ и $OO_1$:
1. По построению в плоскости квадрата $ABCD$, отрезок $OK$ перпендикулярен прямой $CD$ ($OK \perp CD$).
2. Так как прямая $OO_1$ перпендикулярна всей плоскости $(ABCD)$, а отрезок $OK$ лежит в этой плоскости, то $OO_1$ перпендикулярна $OK$ ($OO_1 \perp OK$).

Поскольку отрезок $OK$ перпендикулярен обеим скрещивающимся прямым, его длина и есть искомое расстояние.

Ответ: $\frac{a}{2}$

11.32. Прямая $m$ проходит через вершину $A$ треугольника $ABC$ и перпендикулярна его плоскости. Расстояние между прямыми $m$ и $BC$ равно 8 см. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BC = 10$ см.

Пусть плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, называется $\alpha$. По условию, прямая $m$ проходит через вершину $A$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$, то есть $m \perp \alpha$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, а прямая $BC$ лежит в этой плоскости и не проходит через точку $A$, то прямые $m$ и $BC$ являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Найдём этот общий перпендикуляр.

Проведём в треугольнике $ABC$ высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$. По определению высоты, отрезок $AH$ перпендикулярен стороне $BC$, то есть $AH \perp BC$. Высота $AH$ полностью лежит в плоскости $\alpha$.

Так как прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она по определению перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, прямая $m$ перпендикулярна и высоте $AH$, так как $AH$ лежит в $\alpha$. Таким образом, $m \perp AH$.

Мы установили, что отрезок $AH$ перпендикулярен как прямой $m$, так и прямой $BC$. Это означает, что $AH$ является общим перпендикуляром к скрещивающимся прямым $m$ и $BC$. Длина этого отрезка и есть расстояние между данными прямыми.

По условию задачи, расстояние между прямыми $m$ и $BC$ равно 8 см. Следовательно, длина высоты $AH$ треугольника $ABC$ равна 8 см.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — длина основания, а $h_a$ — длина высоты, проведённой к этому основанию.

В нашем случае в качестве основания возьмём сторону $BC$, длина которой по условию равна 10 см. Высотой, проведённой к этому основанию, является $AH = 8$ см.

Вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 40 \text{ см}^2$.

Ответ: 40 см$^2$.

11.33. Прямая $a$ проходит через вершину $B$ параллелограмма $ABCD$ и перпендикулярна его плоскости. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $CD$, если $AB = 6$ см, а площадь параллелограмма $ABCD$ равна $72 \text{ см}^2$.

Пусть плоскость параллелограмма $ABCD$ обозначается как $\alpha$. По условию, прямая $a$ проходит через вершину $B$ и перпендикулярна плоскости параллелограмма, то есть $a \perp \alpha$. Прямая $CD$ лежит в этой плоскости ($CD \subset \alpha$). Так как прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $B$, которая не принадлежит прямой $CD$, то прямые $a$ и $CD$ являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Построим этот перпендикуляр.

В плоскости параллелограмма $ABCD$ проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к прямой, содержащей сторону $CD$. По определению высоты, $BH \perp CD$.

Поскольку прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $BH$ лежит в плоскости $\alpha$, следовательно, прямая $a$ перпендикулярна прямой $BH$ ($a \perp BH$).

Таким образом, отрезок $BH$ является общим перпендикуляром к прямым $a$ и $CD$, так как он перпендикулярен обеим этим прямым. Длина этого отрезка и есть искомое расстояние.

Найдем длину высоты $BH$. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = \text{основание} \times \text{высота}$

В качестве основания возьмем сторону $CD$, тогда высота, проведенная к этому основанию, — это $BH$. $S_{ABCD} = CD \cdot BH$

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $CD = AB$. Из условия задачи известно, что $AB = 6$ см, значит, $CD = 6$ см. Площадь параллелограмма $S_{ABCD} = 72$ см².

Подставим известные значения в формулу площади и найдем $BH$: $72 \text{ см}^2 = 6 \text{ см} \cdot BH$ $BH = \frac{72}{6}$ см $BH = 12$ см.

Следовательно, расстояние между прямыми $a$ и $CD$ равно 12 см.

Ответ: 12 см.

11.34. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $MH$ и наклонные $MA$ и $MB$ так, что $\angle MAH = 30^\circ$, $\angle MBH = 45^\circ$, а угол между проекциями наклонных равен $90^\circ$. Найдите косинус угла между данными наклонными.

Пусть $MH$ — перпендикуляр, проведенный из точки $M$ к плоскости $\alpha$. Тогда $H$ — основание перпендикуляра, а отрезки $HA$ и $HB$ являются проекциями наклонных $MA$ и $MB$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Поскольку $MH \perp \alpha$, то $MH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $H$. Следовательно, треугольники $\triangle MHA$ и $\triangle MHB$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $H$.

Обозначим длину перпендикуляра $MH$ через $h$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MHA$ по условию угол $\angle MAH = 30^{\circ}$. Выразим длины наклонной $MA$ и её проекции $HA$ через $h$:
$MA = \frac{MH}{\sin(\angle MAH)} = \frac{h}{\sin(30^{\circ})} = \frac{h}{1/2} = 2h$.
$HA = \frac{MH}{\tan(\angle MAH)} = \frac{h}{\tan(30^{\circ})} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MHB$ по условию угол $\angle MBH = 45^{\circ}$. Выразим длины наклонной $MB$ и её проекции $HB$ через $h$:
$MB = \frac{MH}{\sin(\angle MBH)} = \frac{h}{\sin(45^{\circ})} = \frac{h}{\sqrt{2}/2} = h\sqrt{2}$.
$HB = \frac{MH}{\tan(\angle MBH)} = \frac{h}{\tan(45^{\circ})} = \frac{h}{1} = h$.

По условию, угол между проекциями наклонных равен $90^{\circ}$, то есть $\angle AHB = 90^{\circ}$. Таким образом, $\triangle AHB$ — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем длину отрезка $AB$:
$AB^2 = HA^2 + HB^2 = (h\sqrt{3})^2 + h^2 = 3h^2 + h^2 = 4h^2$.
$AB = \sqrt{4h^2} = 2h$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMB$, в котором известны длины всех трёх сторон: $MA = 2h$, $MB = h\sqrt{2}$ и $AB = 2h$. Чтобы найти косинус угла $\angle AMB$ между наклонными, воспользуемся теоремой косинусов:
$AB^2 = MA^2 + MB^2 - 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos(\angle AMB)$.

Выразим из формулы косинус искомого угла:
$\cos(\angle AMB) = \frac{MA^2 + MB^2 - AB^2}{2 \cdot MA \cdot MB}$.

Подставим найденные значения длин сторон:
$\cos(\angle AMB) = \frac{(2h)^2 + (h\sqrt{2})^2 - (2h)^2}{2 \cdot (2h) \cdot (h\sqrt{2})} = \frac{4h^2 + 2h^2 - 4h^2}{4h^2\sqrt{2}} = \frac{2h^2}{4h^2\sqrt{2}} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\cos(\angle AMB) = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$

11.35. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $AO$ и наклонные $AB$ и $AC$ так, что $\angle ABO = \angle ACO = 45^\circ$, а косинус угла между наклонными равен $\frac{1}{4}$. Найдите угол между проекциями данных наклонных.

Пусть $AO$ — перпендикуляр, проведенный из точки $A$ к плоскости $\alpha$, где $O$ — основание перпендикуляра. $AB$ и $AC$ — наклонные к плоскости $\alpha$, а отрезки $OB$ и $OC$ являются их проекциями на эту плоскость.

По определению, угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость. По условию задачи, $\angle{ABO} = \angle{ACO} = 45^\circ$.

Поскольку $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $AO \perp OB$ и $AO \perp OC$. Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. Так как один из его острых углов $\angle{ABO} = 45^\circ$, то он является равнобедренным, и его катеты равны: $AO = OB$. Длину гипотенузы (наклонной) $AB$ можно выразить через катет $AO$: $AB = \frac{AO}{\sin(45^\circ)} = \frac{AO}{1/\sqrt{2}} = AO\sqrt{2}$.

Аналогично, для прямоугольного треугольника $\triangle AOC$ с острым углом $\angle{ACO} = 45^\circ$ получаем, что он также равнобедренный: $AO = OC$. Длина наклонной $AC$ также равна $AC = AO\sqrt{2}$.

Таким образом, мы установили, что проекции наклонных равны между собой ($OB = OC = AO$), и сами наклонные также равны ($AB = AC = AO\sqrt{2}$).

Угол между наклонными — это угол $\angle{BAC}$ в треугольнике $\triangle ABC$. По условию, косинус этого угла равен $\frac{1}{4}$. Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle ABC$, чтобы найти квадрат длины стороны $BC$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle{BAC})$ $BC^2 = (AO\sqrt{2})^2 + (AO\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (AO\sqrt{2}) \cdot (AO\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{4}$ $BC^2 = 2AO^2 + 2AO^2 - 2 \cdot (2AO^2) \cdot \frac{1}{4}$ $BC^2 = 4AO^2 - AO^2$ $BC^2 = 3AO^2$.

Искомый угол между проекциями — это угол $\angle{BOC}$ в треугольнике $\triangle BOC$, который лежит в плоскости $\alpha$. Мы знаем длины всех его сторон, выраженные через $AO$: $OB = AO$, $OC = AO$, и $BC^2 = 3AO^2$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle BOC$: $BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle{BOC})$ $3AO^2 = AO^2 + AO^2 - 2 \cdot AO \cdot AO \cdot \cos(\angle{BOC})$ $3AO^2 = 2AO^2 - 2AO^2 \cos(\angle{BOC})$ Разделим обе части уравнения на $AO^2$ (поскольку $AO \neq 0$): $3 = 2 - 2\cos(\angle{BOC})$ $1 = -2\cos(\angle{BOC})$ $\cos(\angle{BOC}) = -\frac{1}{2}$.

Угол $\angle{BOC}$ должен быть в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$. Единственный угол в этом диапазоне, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$, — это $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

11.36. Основания трапеции равны 15 см и 20 см. Через большее основание трапеции проведена плоскость $α$ на расстоянии 14 см от её меньшего основания. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до плоскости $α$.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, $BC = 15$ см (меньшее основание) и $AD = 20$ см (большее основание). Через большее основание $AD$ проведена плоскость $\alpha$. Расстояние от меньшего основания $BC$ до плоскости $\alpha$ равно 14 см. Это означает, что расстояние от любой точки на прямой $BC$ до плоскости $\alpha$ равно 14 см. Расстояние от любой точки на прямой $AD$ до плоскости $\alpha$ равно 0, так как $AD$ лежит в этой плоскости.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Нам необходимо найти расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$.

Сначала рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$, образованные диагоналями и основаниями трапеции.Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), эти треугольники подобны по двум углам:
1. $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные углы).
2. $\angle OBC = \angle ODA$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:$ \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD} $

Подставим известные значения длин оснований:$ \frac{BO}{DO} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} $

Это означает, что точка $O$ делит диагональ $BD$ в отношении $BO : DO = 3 : 4$. Из этого отношения найдем, какую часть составляет отрезок $DO$ от всей диагонали $BD$.$ BD = BO + DO $. Так как $ BO = \frac{3}{4} DO $, то $ BD = \frac{3}{4} DO + DO = \frac{7}{4} DO $.Следовательно, отношение $ \frac{DO}{BD} = \frac{DO}{\frac{7}{4} DO} = \frac{4}{7} $.

Теперь найдем искомое расстояние. Пусть $h_O$ — расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$. Спроектируем точки $B$ и $O$ на плоскость $\alpha$. Пусть $B'$ и $O'$ — их ортогональные проекции. По условию, расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно 14 см, то есть $BB' = 14$ см. Расстояние, которое мы ищем, это $OO' = h_O$. Точка $D$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $D$.

Рассмотрим треугольники $\triangle DOO'$ и $\triangle DBB'$. Они подобны, так как они оба прямоугольные ($\angle DO'O = \angle DB'B = 90^\circ$) и имеют общий острый угол при вершине $D$.

Из подобия этих треугольников следует пропорция:$ \frac{OO'}{BB'} = \frac{DO}{DB} $

Подставляем известные значения в эту пропорцию: $BB' = 14$ и $\frac{DO}{DB} = \frac{4}{7}$.$ \frac{h_O}{14} = \frac{4}{7} $

Отсюда находим искомое расстояние $h_O$:$ h_O = 14 \cdot \frac{4}{7} = 2 \cdot 4 = 8 $ см.

Ответ: 8 см.