Страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.6. Отрезок $BD$ — перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ (рис. 12.13). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на прямую $AC$.

Рис. 12.13

Для построения перпендикуляра из точки $D$ на прямую $AC$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

По условию задачи, отрезок $BD$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Запишем это как $BD \perp (ABC)$. Следовательно, $BD$ — перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $(ABC)$, а точка $B$ — основание этого перпендикуляра.

Отрезок $DC$ является наклонной, проведенной из точки $D$ к плоскости $(ABC)$, а отрезок $BC$ — проекцией этой наклонной на плоскость $(ABC)$.

Также по условию, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$, что означает $BC \perp AC$.

Применим теорему о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной (прямая $AC$), перпендикулярна ее проекции ($BC$), то она перпендикулярна и самой наклонной ($DC$).

Так как $BC \perp AC$ (проекция перпендикулярна прямой в плоскости), то по теореме о трех перпендикулярах следует, что и наклонная $DC$ перпендикулярна прямой $AC$, то есть $DC \perp AC$.

Таким образом, для построения искомого перпендикуляра достаточно соединить точки $D$ и $C$.

Ответ: Искомый перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на прямую $AC$, — это отрезок $DC$.

12.7. Отрезок $BE$ — перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$ (рис. 12.14). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки $E$ на прямую $AC$.

Рис. 12.14

Для построения перпендикуляра из точки $E$ на прямую $AC$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

По условию задачи, отрезок $BE$ перпендикулярен плоскости ромба $ABCD$. Математически это записывается как $BE \perp (ABCD)$. Прямая $AC$ лежит в плоскости ромба $ABCD$.

Пусть искомый перпендикуляр, опущенный из точки $E$ на прямую $AC$, — это отрезок $EH$, где точка $H$ лежит на прямой $AC$. В данной конфигурации $EH$ является наклонной к плоскости $(ABCD)$, $BE$ — перпендикуляром к этой плоскости, а отрезок $BH$ — проекцией наклонной $EH$ на плоскость $(ABCD)$.

Теорема о трех перпендикулярах гласит: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна ее проекции. В нашем случае это означает, что $EH \perp AC$ тогда и только тогда, когда $BH \perp AC$.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы в плоскости ромба $ABCD$ найти на прямой $AC$ такую точку $H$, чтобы отрезок $BH$ был перпендикулярен прямой $AC$.

Так как $ABCD$ — ромб, его диагонали $AC$ и $BD$ по свойству ромба взаимно перпендикулярны. Обозначим точку их пересечения буквой $O$. Тогда $BO \perp AC$.

Следовательно, искомая точка $H$ совпадает с точкой пересечения диагоналей $O$. Значит, перпендикуляром, опущенным из точки $E$ на прямую $AC$, является отрезок $EO$.

Алгоритм построения:
1. В плоскости ромба $ABCD$ провести диагональ $BD$.
2. Найти точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ и обозначить ее $O$.
3. Соединить точки $E$ и $O$ отрезком.
Отрезок $EO$ является искомым перпендикуляром.

Ответ: Искомый перпендикуляр — это отрезок $EO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD$.

12.8. Прямая $MA$ перпендикулярна плоскости параллелограмма $ABCD$, $MD \perp CD$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — прямоугольник.

По условию задачи, $ABCD$ — параллелограмм, и прямая $MA$ перпендикулярна плоскости этого параллелограмма, что записывается как $MA \perp (ABCD)$. Также дано, что $MD \perp CD$. Требуется доказать, что $ABCD$ — прямоугольник.

Рассмотрим прямую $MA$ и плоскость $(ABCD)$. Так как $MA \perp (ABCD)$, то $MA$ является перпендикуляром, опущенным из точки $M$ на плоскость $(ABCD)$. Точка $A$ — это основание перпендикуляра.

Рассмотрим отрезок $MD$. Он является наклонной, проведенной из точки $M$ к плоскости $(ABCD)$. Отрезок $AD$ является проекцией наклонной $MD$ на плоскость $(ABCD)$, поскольку $M$ проектируется в $A$, а точка $D$ лежит в плоскости и проектируется сама в себя.

Прямая $CD$ лежит в плоскости $(ABCD)$ и проходит через точку $D$ — основание наклонной $MD$. По условию, наклонная перпендикулярна этой прямой: $MD \perp CD$.

Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции.

Применяя эту теорему к нашей задаче, получаем: поскольку наклонная $MD$ перпендикулярна прямой $CD$, то и ее проекция $AD$ перпендикулярна прямой $CD$. Следовательно, $AD \perp CD$.

Угол между смежными сторонами $AD$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ равен $90^\circ$, то есть $\angle ADC = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником. Так как $ABCD$ — параллелограмм и $\angle ADC = 90^\circ$, то $ABCD$ — прямоугольник. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

12.9. Прямая $MB$ перпендикулярна плоскости параллелограмма $ABCD$, $MD \perp AC$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — ромб.

По условию, прямая $MB$ перпендикулярна плоскости параллелограмма $ABCD$. Это означает, что отрезок $MB$ является перпендикуляром, опущенным из точки $M$ на плоскость $(ABCD)$.

Отрезок $MD$ является наклонной, проведенной из точки $M$ к плоскости $(ABCD)$. Отрезок $BD$ соединяет основание перпендикуляра (точку $B$) и основание наклонной (точку $D$). Следовательно, $BD$ является проекцией наклонной $MD$ на плоскость $(ABCD)$.

Прямая $AC$ — это диагональ параллелограмма, и она целиком лежит в плоскости $(ABCD)$. По условию задачи дано, что наклонная $MD$ перпендикулярна прямой $AC$, то есть $MD \perp AC$.

Воспользуемся обратной теоремой о трех перпендикулярах, которая гласит: если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции.

В нашем случае прямая $AC$ (лежащая в плоскости $(ABCD)$) перпендикулярна наклонной $MD$. Следовательно, по обратной теореме о трех перпендикулярах, прямая $AC$ также перпендикулярна и проекции $BD$. Таким образом, мы получаем, что диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны: $AC \perp BD$.

По определению, параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. Так как $ABCD$ — параллелограмм и его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то $ABCD$ — ромб.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

12.10. Отрезок $DA$ — перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$, $AB = 10$ см, $AC = 17$ см, $BC = 21$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $BC$, если расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно 15 см.

Поскольку отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, то расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно длине этого отрезка. По условию это расстояние равно 15 см, следовательно, $DA = 15$ см.

Расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $D$ к прямой $BC$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$ на прямой $BC$. Таким образом, искомое расстояние — это длина отрезка $DH$, где $DH \perp BC$.

Рассмотрим отрезок $DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $DH$ — наклонная к этой плоскости, а $AH$ — проекция наклонной $DH$ на плоскость $ABC$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DH$) перпендикулярна прямой ($BC$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($AH$) перпендикулярна этой же прямой. Отсюда следует, что $AH \perp BC$. Значит, $AH$ — это высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$.

Чтобы найти длину высоты $AH$, сначала вычислим площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона, используя длины его сторон: $a = BC = 21$ см, $b = AC = 17$ см, $c = AB = 10$ см.

Найдем полупериметр $p$:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{21+17+10}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь вычислим площадь $S$ треугольника $ABC$:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{24(24-21)(24-17)(24-10)} = \sqrt{24 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 14} = \sqrt{72 \cdot 98} = \sqrt{7056} = 84$ см².

С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$. Выразим отсюда высоту $AH$:$AH = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{21} = \frac{168}{21} = 8$ см.

Так как отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости $ABC$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $DA \perp AH$. Это означает, что треугольник $DAH$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DAH$.

Теперь мы можем найти длину гипотенузы $DH$ в прямоугольном треугольнике $DAH$ по теореме Пифагора:$DH^2 = DA^2 + AH^2$$DH^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$$DH = \sqrt{289} = 17$ см.

Таким образом, расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ равно 17 см.

Ответ: 17 см.

12.11. Отрезок $AB$ — диаметр окружности с центром $O$, отрезок $BC$ — её хорда, $AB = 12$ см, $\angle ABC = 30^\circ$. Отрезок $AE$ — перпендикуляр к плоскости данной окружности. Найдите расстояние от точки $E$ до плоскости окружности, если расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ равно 10 см.

Пусть плоскость, в которой лежит окружность, будет плоскостью $\alpha$. По условию, отрезок $AE$ перпендикулярен плоскости окружности, следовательно, $AE \perp \alpha$. Длина отрезка $AE$ и есть искомое расстояние от точки $E$ до плоскости окружности.

Расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ равно 10 см. Пусть $EH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $E$ на прямую $BC$. Тогда $EH = 10$ см и $EH \perp BC$.

Рассмотрим отрезок $AE$ как перпендикуляр к плоскости $\alpha$, отрезок $EH$ как наклонную к этой плоскости, а отрезок $AH$ — как проекцию этой наклонной на плоскость $\alpha$.

По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($EH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BC$), то и ее проекция ($AH$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $AH \perp BC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$, лежащий в плоскости $\alpha$. Так как отрезок $AB$ является диаметром окружности, а точка $C$ лежит на этой окружности, то вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $\triangle ABC$ — прямоугольный с $\angle ACB = 90^{\circ}$, а это значит, что $AC \perp BC$.

Поскольку из точки $A$ к прямой $BC$ в плоскости $\alpha$ проведены два перпендикуляра, $AH$ и $AC$, их основания $H$ и $C$ должны совпадать. Значит, проекция $AH$ — это катет $AC$, а наклонная $EH$ — это отрезок $EC$. Таким образом, $EC = 10$ см.

Найдем длину катета $AC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$. Гипотенуза $AB = 12$ см, а угол $\angle ABC = 30^{\circ}$. Катет $AC$ лежит напротив угла в $30^{\circ}$.

$AC = AB \cdot \sin(\angle ABC) = 12 \cdot \sin(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $AEC$. Поскольку $AE \perp \alpha$, то $AE$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $AE \perp AC$, и треугольник $AEC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

По теореме Пифагора в $\triangle AEC$:

$AE^2 + AC^2 = EC^2$

Подставим известные значения:

$AE^2 + 6^2 = 10^2$

$AE^2 + 36 = 100$

$AE^2 = 100 - 36$

$AE^2 = 64$

$AE = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, расстояние от точки $E$ до плоскости окружности равно 8 см.

Ответ: 8 см.

12.12. Отрезок $MA$ — перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $CD$, если $\angle BAC = 30^\circ$, $AD = 10$ см, $MA = 5\sqrt{3}$ см.

Для нахождения расстояния от точки $M$ до прямой $CD$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $MH$ — перпендикуляр из точки $M$ на прямую $CD$, то есть $MH \perp CD$.

Согласно условию, отрезок $MA$ перпендикулярен плоскости ромба $ABCD$, то есть $MA \perp (ABCD)$. Отрезок $MH$ является наклонной к плоскости $ABCD$, а отрезок $AH$ — ее проекцией на эту плоскость.

По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($CD$), то и ее проекция ($AH$) также перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $AH \perp CD$. Длина отрезка $AH$ является расстоянием от точки $A$ до прямой $CD$.

Рассмотрим ромб $ABCD$. Все стороны ромба равны, следовательно, $AD = CD = 10$ см. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$. Так как $\angle BAC = 30^\circ$, то $\angle BAD = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, поэтому $\angle ADC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Расстояние $AH$ от точки $A$ до прямой $CD$ можно найти, рассмотрев треугольник $ADC$. $AH$ является высотой этого треугольника, проведенной к стороне $CD$. Площадь треугольника $ADC$ можно вычислить по формуле:$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin(\angle ADC)$$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(120^\circ) = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$ см$^2$.

С другой стороны, площадь этого же треугольника равна:$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH$$25\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AH$$25\sqrt{3} = 5 \cdot AH$$AH = \frac{25\sqrt{3}}{5} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $MAH$. Так как $MA \perp (ABCD)$, то $MA$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $MA \perp AH$, и треугольник $MAH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MH$, которая и является искомым расстоянием:$MH^2 = MA^2 + AH^2$$MH^2 = (5\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{3})^2 = (25 \cdot 3) + (25 \cdot 3) = 75 + 75 = 150$$MH = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$ см.

Ответ: $5\sqrt{6}$ см.

12.13. Отрезок $DA$ — перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$, $\angle ABC = 120^\circ$, $AB = 14$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$, если эта точка удалена от прямой $BC$ на $2\sqrt{43}$ см.

По условию задачи, отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на эту плоскость. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $DA$.

Расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $D$ к прямой $BC$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $H$, лежащую на прямой $BC$. Таким образом, $DH \perp BC$, и по условию $DH = 2\sqrt{43}$ см.

Рассмотрим отрезки $DA$, $AH$ и $DH$. $DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$. $DH$ — наклонная, проведенная из точки $D$ к прямой $BC$ в этой плоскости. $AH$ — проекция наклонной $DH$ на плоскость $ABC$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BC$), то и ее проекция ($AH$) перпендикулярна этой же прямой. Следовательно, $AH \perp BC$. Это означает, что $AH$ — высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$ в его плоскости. Нам даны $\angle ABC = 120^\circ$ и $AB = 14$ см. Так как угол $\angle ABC$ тупой, высота $AH$ будет падать на продолжение стороны $BC$ за точку $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Угол $\angle ABH$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.В этом треугольнике $AB$ является гипотенузой, а $AH$ — катетом, противолежащим углу $\angle ABH$. Найдем длину $AH$:
$AH = AB \cdot \sin(\angle ABH) = 14 \cdot \sin(60^\circ) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle DAH$. Так как $DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, то $DA$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Значит, $DA \perp AH$. Следовательно, треугольник $\triangle DAH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle DAH$ нам известны:

• гипотенуза $DH = 2\sqrt{43}$ см;
• катет $AH = 7\sqrt{3}$ см.

Найдем длину второго катета $DA$ по теореме Пифагора: $DA^2 + AH^2 = DH^2$.
$DA^2 = DH^2 - AH^2$
$DA^2 = (2\sqrt{43})^2 - (7\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 43) - (49 \cdot 3) = 172 - 147 = 25$
$DA = \sqrt{25} = 5$ см.

Таким образом, расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно 5 см.
Ответ: 5 см.

12.14. Точка $M$ равноудалена от всех прямых, содержащих стороны правильного треугольника $ABC$. Проекцией точки $M$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, принадлежащая треугольнику. Найдите расстояние от точки $M$ до стороны $AB$, если расстояние от этой точки до плоскости $ABC$ равно $3\sqrt{2}$ см, $AB = 18$ см.

Поскольку точка $M$ равноудалена от всех прямых, содержащих стороны правильного треугольника $ABC$, а точка $O$ является ее проекцией на плоскость этого треугольника, то точка $O$ также равноудалена от сторон треугольника $ABC$. Точка внутри треугольника, равноудаленная от его сторон, является центром вписанной окружности.

Для правильного треугольника центр вписанной окружности является также его центром тяжести и центром описанной окружности. Расстояние от точки $O$ до любой из сторон треугольника является радиусом вписанной окружности ($r$).

Найдем радиус вписанной окружности для правильного треугольника со стороной $a = 18$ см по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Пусть $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на сторону $AB$. Тогда $MK$ — это искомое расстояние от точки $M$ до стороны $AB$. Отрезок $OK$ — это проекция наклонной $MK$ на плоскость $(ABC)$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $MK \perp AB$, то и ее проекция $OK \perp AB$. Длина отрезка $OK$ как раз и равна радиусу вписанной окружности, то есть $OK = r = 3\sqrt{3}$ см.

Расстояние от точки $M$ до плоскости $(ABC)$ — это длина перпендикуляра $MO$. По условию, $MO = 3\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOK$ (угол $\angle MOK = 90^\circ$, так как $MO$ перпендикулярно плоскости $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $OK$). Катетами этого треугольника являются $MO$ и $OK$, а гипотенузой — $MK$.

По теореме Пифагора найдем длину $MK$:

$MK^2 = MO^2 + OK^2$

$MK^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{3})^2 = (9 \cdot 2) + (9 \cdot 3) = 18 + 27 = 45$

$MK = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.