Номер 12.14, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.14. Точка $M$ равноудалена от всех прямых, содержащих стороны правильного треугольника $ABC$. Проекцией точки $M$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, принадлежащая треугольнику. Найдите расстояние от точки $M$ до стороны $AB$, если расстояние от этой точки до плоскости $ABC$ равно $3\sqrt{2}$ см, $AB = 18$ см.

Поскольку точка $M$ равноудалена от всех прямых, содержащих стороны правильного треугольника $ABC$, а точка $O$ является ее проекцией на плоскость этого треугольника, то точка $O$ также равноудалена от сторон треугольника $ABC$. Точка внутри треугольника, равноудаленная от его сторон, является центром вписанной окружности.

Для правильного треугольника центр вписанной окружности является также его центром тяжести и центром описанной окружности. Расстояние от точки $O$ до любой из сторон треугольника является радиусом вписанной окружности ($r$).

Найдем радиус вписанной окружности для правильного треугольника со стороной $a = 18$ см по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Пусть $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на сторону $AB$. Тогда $MK$ — это искомое расстояние от точки $M$ до стороны $AB$. Отрезок $OK$ — это проекция наклонной $MK$ на плоскость $(ABC)$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $MK \perp AB$, то и ее проекция $OK \perp AB$. Длина отрезка $OK$ как раз и равна радиусу вписанной окружности, то есть $OK = r = 3\sqrt{3}$ см.

Расстояние от точки $M$ до плоскости $(ABC)$ — это длина перпендикуляра $MO$. По условию, $MO = 3\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOK$ (угол $\angle MOK = 90^\circ$, так как $MO$ перпендикулярно плоскости $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $OK$). Катетами этого треугольника являются $MO$ и $OK$, а гипотенузой — $MK$.

По теореме Пифагора найдем длину $MK$:

$MK^2 = MO^2 + OK^2$

$MK^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{3})^2 = (9 \cdot 2) + (9 \cdot 3) = 18 + 27 = 45$

$MK = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.