Номер 12.18, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.18. Основания равнобокой трапеции равны 16 см и 36 см. Через центр $O$ окружности, вписанной в эту трапецию, к её плоскости проведён перпендикуляр $MO$. Точка $M$ находится на расстоянии 16 см от плоскости трапеции. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, в которую вписана окружность с центром в точке O. Основания трапеции $BC = 16$ см и $AD = 36$ см. Так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы ее противоположных сторон равны:

$AB + CD = BC + AD$

Поскольку трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Тогда:

$2 \cdot AB = 16 + 36 = 52$ см

$AB = CD = 26$ см.

Найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$ равен полуразности оснований:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:

$h = BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности, т.е. $h = 2r$, где $r$ – радиус вписанной окружности.

$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Радиус вписанной окружности – это расстояние от ее центра $O$ до любой стороны трапеции.

По условию, из центра $O$ к плоскости трапеции проведен перпендикуляр $MO$, длина которого равна расстоянию от точки $M$ до плоскости трапеции, то есть $MO = 16$ см.

Расстояние от точки $M$ до стороны трапеции – это длина наклонной, проведенной из точки $M$ перпендикулярно к этой стороне. Пусть $K$ – точка касания окружности с одной из сторон трапеции. Тогда $OK$ является перпендикуляром к этой стороне, и $OK = r = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $MOK$. Так как $MO$ перпендикулярен плоскости трапеции, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и радиусу $OK$. Следовательно, треугольник $MOK$ – прямоугольный ($\angle MOK = 90^\circ$).

В этом треугольнике $MO$ и $OK$ – катеты, а $MK$ – гипотенуза. Длина $MK$ и есть искомое расстояние от точки $M$ до стороны трапеции. По теореме Пифагора:

$MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как центр вписанной окружности $O$ равноудален от всех сторон трапеции (расстояние равно $r$), то и точка $M$ будет равноудалена от всех сторон трапеции. Это расстояние равно 20 см.

Ответ: 20 см.