Номер 12.15, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.15. Сторона ромба равна 10 см, а одна из диагоналей — 16 см. Точка $M$ находится на расстоянии 5,2 см от каждой прямой, содержащей сторону ромба. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$ со стороной $a=10$ см и одной из диагоналей $d_1=16$ см. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

1. Найдем вторую диагональ ромба. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Гипотенуза $AB=a=10$ см. Один из катетов равен половине известной диагонали: $AO = \frac{d_1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $BO$:

$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Тогда вторая диагональ $d_2 = BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 6 = 12$ см.

2. Определим положение проекции точки $M$ на плоскость ромба. Точка $M$ равноудалена от всех прямых, содержащих стороны ромба. Это означает, что ее проекция на плоскость ромба, назовем ее $H$, будет равноудалена от этих же прямых. В ромбе точкой, равноудаленной от всех его сторон, является центр вписанной окружности, который совпадает с точкой пересечения диагоналей $O$. Таким образом, $H=O$. Искомое расстояние от точки $M$ до плоскости ромба — это длина перпендикуляра $MO$.

3. Найдем расстояние от центра ромба $O$ до его стороны. Это расстояние равно радиусу $r$ вписанной в ромб окружности. Радиус $r$ является высотой $OK$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AB$ в треугольнике $\triangle AOB$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см$^2$.

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot r = 5r$.

Приравнивая выражения для площади, получаем: $5r = 24$, откуда $r = \frac{24}{5} = 4.8$ см. Итак, $OK=4.8$ см.

4. Найдем расстояние от точки $M$ до плоскости ромба. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK$. В нем:

• $MO$ — катет, равный искомому расстоянию от точки $M$ до плоскости ромба.
• $OK$ — катет, равный расстоянию от проекции точки $M$ (точки $O$) до прямой, содержащей сторону ромба ($OK=r=4.8$ см).
• $MK$ — гипотенуза, равная расстоянию от точки $M$ до прямой, содержащей сторону ромба. По условию $MK=5.2$ см.

По теореме Пифагора: $MO^2 + OK^2 = MK^2$.

$MO^2 = MK^2 - OK^2 = 5.2^2 - 4.8^2$.

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$MO^2 = (5.2 - 4.8)(5.2 + 4.8) = 0.4 \cdot 10 = 4$.

$MO = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.