Номер 12.11, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.11. Отрезок $AB$ — диаметр окружности с центром $O$, отрезок $BC$ — её хорда, $AB = 12$ см, $\angle ABC = 30^\circ$. Отрезок $AE$ — перпендикуляр к плоскости данной окружности. Найдите расстояние от точки $E$ до плоскости окружности, если расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ равно 10 см.

Пусть плоскость, в которой лежит окружность, будет плоскостью $\alpha$. По условию, отрезок $AE$ перпендикулярен плоскости окружности, следовательно, $AE \perp \alpha$. Длина отрезка $AE$ и есть искомое расстояние от точки $E$ до плоскости окружности.

Расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ равно 10 см. Пусть $EH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $E$ на прямую $BC$. Тогда $EH = 10$ см и $EH \perp BC$.

Рассмотрим отрезок $AE$ как перпендикуляр к плоскости $\alpha$, отрезок $EH$ как наклонную к этой плоскости, а отрезок $AH$ — как проекцию этой наклонной на плоскость $\alpha$.

По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($EH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BC$), то и ее проекция ($AH$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $AH \perp BC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$, лежащий в плоскости $\alpha$. Так как отрезок $AB$ является диаметром окружности, а точка $C$ лежит на этой окружности, то вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $\triangle ABC$ — прямоугольный с $\angle ACB = 90^{\circ}$, а это значит, что $AC \perp BC$.

Поскольку из точки $A$ к прямой $BC$ в плоскости $\alpha$ проведены два перпендикуляра, $AH$ и $AC$, их основания $H$ и $C$ должны совпадать. Значит, проекция $AH$ — это катет $AC$, а наклонная $EH$ — это отрезок $EC$. Таким образом, $EC = 10$ см.

Найдем длину катета $AC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$. Гипотенуза $AB = 12$ см, а угол $\angle ABC = 30^{\circ}$. Катет $AC$ лежит напротив угла в $30^{\circ}$.

$AC = AB \cdot \sin(\angle ABC) = 12 \cdot \sin(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $AEC$. Поскольку $AE \perp \alpha$, то $AE$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $AE \perp AC$, и треугольник $AEC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

По теореме Пифагора в $\triangle AEC$:

$AE^2 + AC^2 = EC^2$

Подставим известные значения:

$AE^2 + 6^2 = 10^2$

$AE^2 + 36 = 100$

$AE^2 = 100 - 36$

$AE^2 = 64$

$AE = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, расстояние от точки $E$ до плоскости окружности равно 8 см.

Ответ: 8 см.