Номер 12.13, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.13. Отрезок $DA$ — перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$, $\angle ABC = 120^\circ$, $AB = 14$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$, если эта точка удалена от прямой $BC$ на $2\sqrt{43}$ см.

По условию задачи, отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на эту плоскость. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $DA$.

Расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $D$ к прямой $BC$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $H$, лежащую на прямой $BC$. Таким образом, $DH \perp BC$, и по условию $DH = 2\sqrt{43}$ см.

Рассмотрим отрезки $DA$, $AH$ и $DH$. $DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$. $DH$ — наклонная, проведенная из точки $D$ к прямой $BC$ в этой плоскости. $AH$ — проекция наклонной $DH$ на плоскость $ABC$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BC$), то и ее проекция ($AH$) перпендикулярна этой же прямой. Следовательно, $AH \perp BC$. Это означает, что $AH$ — высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$ в его плоскости. Нам даны $\angle ABC = 120^\circ$ и $AB = 14$ см. Так как угол $\angle ABC$ тупой, высота $AH$ будет падать на продолжение стороны $BC$ за точку $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Угол $\angle ABH$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.В этом треугольнике $AB$ является гипотенузой, а $AH$ — катетом, противолежащим углу $\angle ABH$. Найдем длину $AH$:
$AH = AB \cdot \sin(\angle ABH) = 14 \cdot \sin(60^\circ) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle DAH$. Так как $DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, то $DA$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Значит, $DA \perp AH$. Следовательно, треугольник $\triangle DAH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle DAH$ нам известны:

• гипотенуза $DH = 2\sqrt{43}$ см;
• катет $AH = 7\sqrt{3}$ см.

Найдем длину второго катета $DA$ по теореме Пифагора: $DA^2 + AH^2 = DH^2$.
$DA^2 = DH^2 - AH^2$
$DA^2 = (2\sqrt{43})^2 - (7\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 43) - (49 \cdot 3) = 172 - 147 = 25$
$DA = \sqrt{25} = 5$ см.

Таким образом, расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно 5 см.
Ответ: 5 см.