Номер 12.19, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.19. Точка $O$ — центр окружности, вписанной в трапецию $ABCD$, $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $CD = 12$ см, $\angle ADC = 45^\circ$. Отрезок $MO$ — перпендикуляр к плоскости трапеции. Точка $M$ удалена от плоскости трапеции на $6\sqrt{2}$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон трапеции.

Дано:

• $ABCD$ — трапеция, в которую вписана окружность с центром $O$.
• $BC \parallel AD$ — основания.
• $AB \perp AD$ — трапеция прямоугольная.
• $CD = 12$ см.
• $\angle ADC = 45^\circ$.
• $MO \perp$ плоскости трапеции $(ABC)$.
• Расстояние от точки $M$ до плоскости трапеции равно $6\sqrt{2}$ см, что означает $MO = 6\sqrt{2}$ см.

Нужно найти расстояние от точки $M$ до сторон трапеции: $AB, BC, CD, AD$.

1. Нахождение радиуса вписанной окружности

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как трапеция прямоугольная, $AB \perp AD$ и $CH \perp AD$, то $ABCH$ — прямоугольник, и $CH = AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. Угол $\angle D = 45^\circ$. Высота $CH$ равна: $CH = CD \cdot \sin(\angle D) = 12 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Высота трапеции $h = CH = AB = 6\sqrt{2}$ см. Поскольку в трапецию вписана окружность, ее диаметр равен высоте трапеции. $d = h = 6\sqrt{2}$ см. Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ равен: $r = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

2. Нахождение расстояния от точки M до сторон трапеции

Расстояние от центра вписанной окружности $O$ до любой стороны трапеции равно радиусу этой окружности, то есть $r = 3\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим расстояние от точки $M$ до одной из сторон, например, до стороны $AD$. Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной $AD$. Тогда $OK \perp AD$ и $OK = r$.

По условию, отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости трапеции $(ABC)$. Это значит, что $MO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $OK$. Таким образом, $\triangle MOK$ — прямоугольный.

Мы имеем:

• $MO$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$.
• $MK$ — наклонная к плоскости $(ABC)$.
• $OK$ — проекция наклонной $MK$ на плоскость $(ABC)$.

Так как проекция $OK$ перпендикулярна прямой $AD$ (лежащей в плоскости), то по теореме о трех перпендикулярах, наклонная $MK$ также перпендикулярна прямой $AD$. Следовательно, длина отрезка $MK$ и есть расстояние от точки $M$ до стороны $AD$.

Найдем длину $MK$ из прямоугольного треугольника $\triangle MOK$ по теореме Пифагора: $MK = \sqrt{MO^2 + OK^2}$ $MK = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 \cdot 2 + 9 \cdot 2} = \sqrt{72 + 18} = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$ см.

Так как точка $O$ (центр вписанной окружности) равноудалена от всех сторон трапеции на расстояние $r$, то и точка $M$ будет равноудалена от всех сторон трапеции. Расстояние до каждой из сторон будет равно длине наклонной $MK$.

Таким образом, расстояние от точки $M$ до каждой из сторон $AB, BC, CD, AD$ одинаково и равно $3\sqrt{10}$ см.

Ответ: Расстояние от точки $M$ до каждой из сторон трапеции равно $3\sqrt{10}$ см.