Номер 12.25, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.25. Ребро $DA$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$ (рис. $12.15$), $AC = AD$, $\angle ACB = 90^\circ$, точка $M$ — середина ребра $BD$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $CD$.

Рис. $12.15$

Для построения сечения, проходящего через точку $M$ и перпендикулярного прямой $CD$, необходимо найти плоскость, удовлетворяющую этим условиям. Плоскость считается перпендикулярной прямой, если она содержит две пересекающиеся прямые, каждая из которых перпендикулярна данной прямой.

Шаг 1. Анализ свойств тетраэдра и нахождение прямой, перпендикулярной CD

По условию задачи ребро $DA$ перпендикулярно плоскости $ABC$ ($DA \perp (ABC)$). Это означает, что ребро $DA$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DA \perp AC$ и $DA \perp CB$.

Также по условию $\angle ACB = 90^\circ$, что означает $AC \perp CB$.

Таким образом, прямая $CB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $DA$. Прямые $AC$ и $DA$ лежат в плоскости $ADC$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CB$ перпендикулярна плоскости $ADC$ ($CB \perp (ADC)$).

Поскольку прямая $CB$ перпендикулярна плоскости $ADC$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая прямую $CD$. Итак, мы установили важный факт: $CB \perp CD$.

Шаг 2. Построение плоскости сечения

Искомая плоскость сечения $\alpha$ должна проходить через точку $M$ и быть перпендикулярной $CD$.

1. В плоскости грани $BCD$ построим прямую, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную $CD$. Поскольку $M$ — середина ребра $BD$, проведем через нее среднюю линию треугольника $BCD$. Для этого отметим точку $N$ — середину ребра $CD$. Отрезок $MN$ является средней линией $\triangle BCD$, и по свойству средней линии $MN \parallel CB$. Так как мы доказали, что $CB \perp CD$, то и параллельная ей прямая $MN$ также будет перпендикулярна $CD$ ($MN \perp CD$).

2. Теперь найдем вторую прямую, перпендикулярную $CD$. Рассмотрим грань $ACD$. Мы знаем, что $DA \perp AC$ (из $DA \perp (ABC)$) и $AC=AD$ (по условию). Следовательно, $\triangle ADC$ — прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой $CD$. Точка $N$ — середина гипотенузы $CD$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, является также и высотой. Значит, $AN \perp CD$.

3. Мы получили две прямые, $MN$ и $AN$, которые пересекаются в точке $N$ и обе перпендикулярны прямой $CD$. Эти две прямые задают плоскость $(AMN)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, плоскость $(AMN)$ перпендикулярна прямой $CD$.

Поскольку точка $M$ принадлежит этой плоскости по построению, плоскость $(AMN)$ и является искомой плоскостью сечения.

Шаг 3. Описание построения сечения

Сечение тетраэдра плоскостью $(AMN)$ — это многоугольник, вершинами которого являются точки пересечения плоскости с ребрами тетраэдра.

1. Точка $A$ — вершина тетраэдра, принадлежит плоскости сечения.

2. Точка $M$ лежит на ребре $BD$ и принадлежит плоскости сечения.

3. Точка $N$, построенная как середина ребра $CD$, принадлежит плоскости сечения.

Соединив эти три точки, мы получим треугольник $AMN$. Этот треугольник и есть искомое сечение.

Построение выполняется в следующем порядке:

1. Найти середину ребра $CD$ и обозначить ее точкой $N$.

2. Соединить отрезками точки $A$ и $M$.

3. Соединить отрезками точки $M$ и $N$.

4. Соединить отрезками точки $N$ и $A$.

Полученный треугольник $AMN$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $AMN$, где точка $N$ является серединой ребра $CD$.