Номер 12.24, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.24. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Точки $E$, $F$ и $M$ — середины рёбер $AB$, $AD$ и $AA_1$, соответственно. Докажите, что $AC_1 \perp EFM$.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Пусть длина ребра куба равна $2$. Тогда координаты вершин куба и заданных точек будут следующими:

$A(0, 0, 0)$
$B(2, 0, 0)$
$D(0, 2, 0)$
$A_1(0, 0, 2)$
$C_1$ — вершина, противоположная $A$, имеет координаты $C_1(2, 2, 2)$.

Точки $E$, $F$ и $M$ — середины ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно. Найдем их координаты:

$E$ — середина $AB$: $E(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = E(1, 0, 0)$.
$F$ — середина $AD$: $F(\frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}) = F(0, 1, 0)$.
$M$ — середина $AA_1$: $M(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2}) = M(0, 0, 1)$.

Чтобы доказать, что прямая $AC_1$ перпендикулярна плоскости $(EFM)$, необходимо доказать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых возьмем $EF$ и $EM$. Для этого найдем координаты векторов $\vec{AC_1}$, $\vec{EF}$ и $\vec{EM}$ и проверим, равно ли их скалярное произведение нулю.

Координаты векторов:

$\vec{AC_1} = \{2-0, 2-0, 2-0\} = \{2, 2, 2\}$
$\vec{EF} = \{0-1, 1-0, 0-0\} = \{-1, 1, 0\}$
$\vec{EM} = \{0-1, 0-0, 1-0\} = \{-1, 0, 1\}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{EF}$:
$\vec{AC_1} \cdot \vec{EF} = (2)(-1) + (2)(1) + (2)(0) = -2 + 2 + 0 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, следовательно, $AC_1 \perp EF$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{EM}$:
$\vec{AC_1} \cdot \vec{EM} = (2)(-1) + (2)(0) + (2)(1) = -2 + 0 + 2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, следовательно, $AC_1 \perp EM$.

Прямые $EF$ и $EM$ пересекаются в точке $E$ и лежат в плоскости $(EFM)$. Так как прямая $AC_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $(EFM)$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC_1$ перпендикулярна плоскости $(EFM)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AC_1 \perp EFM$.