Номер 12.21, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.21. Точка $M$ удалена от параллельных прямых $a$ и $b$ соответственно на 10 см и 17 см, а от плоскости, проходящей через прямые $a$ и $b$, — на 8 см. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $b$.

Пусть $\alpha$ — плоскость, содержащая параллельные прямые $a$ и $b$. Пусть $H$ — проекция точки $M$ на плоскость $\alpha$. По условию, расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно 8 см, следовательно, длина перпендикуляра $MH = 8$ см.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $A$ — точка на прямой $a$ такая, что $MA \perp a$, и $B$ — точка на прямой $b$ такая, что $MB \perp b$. По условию, $MA = 10$ см и $MB = 17$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHA$, в котором $\angle MHA = 90^\circ$, так как $MH \perp \alpha$. По теореме о трех перпендикулярах, поскольку наклонная $MA$ перпендикулярна прямой $a$, то и ее проекция $HA$ перпендикулярна прямой $a$. Таким образом, длина отрезка $HA$ является расстоянием от точки $H$ до прямой $a$ в плоскости $\alpha$. Найдем $HA$ по теореме Пифагора:

$HA^2 = MA^2 - MH^2$

$HA = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHB$ ($\angle MHB = 90^\circ$). Проекция $HB$ перпендикулярна прямой $b$, и $HB$ — это расстояние от точки $H$ до прямой $b$. Найдем $HB$ по теореме Пифагора:

$HB^2 = MB^2 - MH^2$

$HB = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь задача сводится к определению расстояния между двумя параллельными прямыми $a$ и $b$ на плоскости $\alpha$, для которых известны расстояния до них от точки $H$ ($HA=6$ см и $HB=15$ см). Расстояние между параллельными прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Существует два возможных случая расположения точки $H$ относительно полосы, образованной прямыми $a$ и $b$.

Случай 1: Проекция H точки M лежит между прямыми a и b.

В этом случае прямые $a$ и $b$ находятся по разные стороны от точки $H$. Расстояние между прямыми равно сумме расстояний от точки $H$ до каждой из прямых.

Расстояние $d(a,b) = HA + HB = 6 + 15 = 21$ см.

Ответ: 21 см.

Случай 2: Проекция H точки M лежит вне полосы между прямыми a и b.

В этом случае прямые $a$ и $b$ находятся по одну сторону от точки $H$. Расстояние между ними равно разности расстояний от точки $H$ до этих прямых (от большего расстояния отнимаем меньшее).

Расстояние $d(a,b) = HB - HA = 15 - 6 = 9$ см.

Ответ: 9 см.