Номер 12.12, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.12. Отрезок $MA$ — перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $CD$, если $\angle BAC = 30^\circ$, $AD = 10$ см, $MA = 5\sqrt{3}$ см.

Для нахождения расстояния от точки $M$ до прямой $CD$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $MH$ — перпендикуляр из точки $M$ на прямую $CD$, то есть $MH \perp CD$.

Согласно условию, отрезок $MA$ перпендикулярен плоскости ромба $ABCD$, то есть $MA \perp (ABCD)$. Отрезок $MH$ является наклонной к плоскости $ABCD$, а отрезок $AH$ — ее проекцией на эту плоскость.

По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($CD$), то и ее проекция ($AH$) также перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $AH \perp CD$. Длина отрезка $AH$ является расстоянием от точки $A$ до прямой $CD$.

Рассмотрим ромб $ABCD$. Все стороны ромба равны, следовательно, $AD = CD = 10$ см. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$. Так как $\angle BAC = 30^\circ$, то $\angle BAD = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, поэтому $\angle ADC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Расстояние $AH$ от точки $A$ до прямой $CD$ можно найти, рассмотрев треугольник $ADC$. $AH$ является высотой этого треугольника, проведенной к стороне $CD$. Площадь треугольника $ADC$ можно вычислить по формуле:$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin(\angle ADC)$$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(120^\circ) = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$ см$^2$.

С другой стороны, площадь этого же треугольника равна:$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH$$25\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AH$$25\sqrt{3} = 5 \cdot AH$$AH = \frac{25\sqrt{3}}{5} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $MAH$. Так как $MA \perp (ABCD)$, то $MA$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $MA \perp AH$, и треугольник $MAH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MH$, которая и является искомым расстоянием:$MH^2 = MA^2 + AH^2$$MH^2 = (5\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{3})^2 = (25 \cdot 3) + (25 \cdot 3) = 75 + 75 = 150$$MH = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$ см.

Ответ: $5\sqrt{6}$ см.