Страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.35. Рёбра $AB$, $AD$, $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ относятся как $3 : 4 : 5$. Через вершину $A$ проведена плоскость перпендикулярно прямой $B_1D$. Прямая $B_1D$ пересекает эту плоскость в точке $M$. Найдите отношение $B_1M : MD$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем прямоугольную систему координат, поместив ее начало в вершину A параллелепипеда. Направим оси координат вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$.

Пусть $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{d} = \vec{AD}$ и $\vec{a_1} = \vec{AA_1}$ — векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда, выходящим из вершины A. Так как параллелепипед прямоугольный, эти векторы попарно ортогональны:

$\vec{b} \cdot \vec{d} = 0$, $\vec{d} \cdot \vec{a_1} = 0$, $\vec{a_1} \cdot \vec{b} = 0$.

Согласно условию, длины ребер относятся как $3:4:5$. Примем их длины равными $|\vec{b}| = 3k$, $|\vec{d}| = 4k$, $|\vec{a_1}| = 5k$ для некоторого коэффициента пропорциональности $k > 0$.

Найдем векторы, определяющие прямую $B_1D$. Положение вершин $D$ и $B_1$ относительно начала координат $A$ задается радиус-векторами $\vec{AD} = \vec{d}$ и $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{a_1}$.

Направляющий вектор прямой $B_1D$ можно найти как разность векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{DB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AD} = (\vec{b} + \vec{a_1}) - \vec{d} = \vec{b} - \vec{d} + \vec{a_1}$.

Плоскость, о которой говорится в условии, проходит через вершину A (начало координат) и перпендикулярна прямой $B_1D$. Это означает, что вектор $\vec{DB_1}$ является нормальным вектором этой плоскости. Точка $M$ — это точка пересечения прямой $B_1D$ и этой плоскости.

Поскольку точка $M$ лежит на прямой $B_1D$, ее радиус-вектор $\vec{AM}$ можно выразить через радиус-вектор точки $D$ и направляющий вектор $\vec{DB_1}$:

$\vec{AM} = \vec{AD} + t \cdot \vec{DB_1} = \vec{d} + t(\vec{b} - \vec{d} + \vec{a_1})$, где $t$ — некоторый параметр.

Так как точка $M$ лежит в плоскости, проходящей через $A$ и перпендикулярной $\vec{DB_1}$, ее радиус-вектор $\vec{AM}$ должен быть ортогонален вектору $\vec{DB_1}$. Таким образом, их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{AM} \cdot \vec{DB_1} = 0$

$(\vec{d} + t(\vec{b} - \vec{d} + \vec{a_1})) \cdot (\vec{b} - \vec{d} + \vec{a_1}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения и ортогональность векторов $\vec{b}, \vec{d}, \vec{a_1}$:

$\vec{d} \cdot (\vec{b} - \vec{d} + \vec{a_1}) + t(\vec{b} - \vec{d} + \vec{a_1}) \cdot (\vec{b} - \vec{d} + \vec{a_1}) = 0$

$(\vec{d} \cdot \vec{b} - \vec{d} \cdot \vec{d} + \vec{d} \cdot \vec{a_1}) + t(|\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2 + |\vec{a_1}|^2) = 0$

$(0 - |\vec{d}|^2 + 0) + t(|\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2 + |\vec{a_1}|^2) = 0$

$-|\vec{d}|^2 + t(|\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2 + |\vec{a_1}|^2) = 0$

Теперь подставим длины векторов:

$-(4k)^2 + t((3k)^2 + (4k)^2 + (5k)^2) = 0$

$-16k^2 + t(9k^2 + 16k^2 + 25k^2) = 0$

$-16k^2 + t(50k^2) = 0$

Поделив обе части уравнения на $k^2$ (поскольку $k \neq 0$), получим:

$-16 + 50t = 0 \implies 50t = 16 \implies t = \frac{16}{50} = \frac{8}{25}$

Параметр $t$ показывает, какую часть вектора $\vec{DB_1}$ составляет вектор $\vec{DM}$. То есть, $MD = t \cdot B_1D = \frac{8}{25} B_1D$.

Оставшаяся часть отрезка $B_1M$ равна:

$B_1M = B_1D - MD = B_1D - \frac{8}{25} B_1D = \left(1 - \frac{8}{25}\right)B_1D = \frac{17}{25}B_1D$.

Таким образом, искомое отношение $B_1M : MD$ равно:

$\frac{B_1M}{MD} = \frac{\frac{17}{25}B_1D}{\frac{8}{25}B_1D} = \frac{17}{8}$.

Ответ: $17:8$.

12.36. Точка $M$ принадлежит гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Расстояния от точки $M$ до катетов $AC$ и $BC$ равны соответственно 8 см и 4 см. Площадь треугольника $ABC$ равна $100 \text{ см}^2$. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника $ABC$ (с прямым углом $C$) равны $AC = a$ и $BC = b$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. По условию, площадь равна 100 см$^2$, следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$\frac{1}{2}ab = 100$

$ab = 200$

Точка $M$ лежит на гипотенузе $AB$. Проведем из точки $M$ перпендикуляры $MK$ на катет $AC$ и $ML$ на катет $BC$. По условию, длины этих перпендикуляров (расстояния от точки $M$ до катетов) равны $MK = 8$ см и $ML = 4$ см.

Соединим точку $M$ с вершиной прямого угла $C$. Отрезок $CM$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $AMC$ и $BMC$. Площадь исходного треугольника равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{ABC} = S_{AMC} + S_{BMC}$.

Площадь треугольника $AMC$ можно найти, используя катет $AC$ как основание. Тогда высота, проведенная к этому основанию из вершины $M$, будет равна перпендикуляру $MK$.

$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 8 = 4a$

Аналогично, для треугольника $BMC$ используем катет $BC$ как основание. Высота, проведенная к этому основанию из вершины $M$, будет равна перпендикуляру $ML$.

$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot ML = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 4 = 2b$

Теперь мы можем составить второе уравнение, используя известную площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = S_{AMC} + S_{BMC}$

$100 = 4a + 2b$

Разделим обе части уравнения на 2:

$50 = 2a + b$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} ab = 200 \\ 2a + b = 50 \end{cases}$

Выразим $b$ из второго уравнения: $b = 50 - 2a$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$a(50 - 2a) = 200$

$50a - 2a^2 = 200$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2a^2 - 50a + 200 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$a^2 - 25a + 100 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 625 - 400 = 225 = 15^2$

Найдем корни уравнения для $a$:

$a_1 = \frac{-(-25) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 15}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$a_2 = \frac{-(-25) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь найдем соответствующие значения для $b$, используя формулу $b = 50 - 2a$:

1. Если $a_1 = 20$ см, то $b_1 = 50 - 2 \cdot 20 = 50 - 40 = 10$ см.

2. Если $a_2 = 5$ см, то $b_2 = 50 - 2 \cdot 5 = 50 - 10 = 40$ см.

Таким образом, мы получили две возможные пары длин катетов: (20 см, 10 см) и (5 см, 40 см). Обе пары удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: катеты треугольника равны 20 см и 10 см, или 40 см и 5 см.

12.37. Диагонали равнобокой трапеции делят её острые углы пополам, а точкой пересечения делятся в отношении $5 : 13$. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 9 см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC, причем AD > BC. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Высота трапеции $h = 9$ см.

По условию, диагональ AC делит острый угол $\angle DAB$ пополам, то есть $\angle DAC = \angle CAB$.Так как основания трапеции параллельны (AD || BC), то углы $\angle DAC$ и $\angle BCA$ равны как накрест лежащие при секущей AC.Следовательно, $\angle CAB = \angle BCA$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием AC, откуда следует, что боковая сторона $AB$ равна меньшему основанию $BC$, то есть $AB = BC$.

Поскольку трапеция ABCD равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$.Из этого следует, что $AB = BC = CD$. То есть боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. Они подобны по трем углам:
1. $\angle AOD = \angle COB$ (как вертикальные).
2. $\angle OAD = \angle OCB$ (как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).
3. $\angle ODA = \angle OBC$ (как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BD).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:$\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO}$.По условию, точка пересечения делит диагонали в отношении $5 : 13$. Так как AD - большее основание, то AO и DO - большие отрезки диагоналей. Таким образом, $\frac{AO}{CO} = \frac{13}{5}$.Следовательно, отношение оснований трапеции также равно $\frac{AD}{BC} = \frac{13}{5}$.

Пусть длина меньшего основания $BC = x$. Тогда боковая сторона $AB = x$, а большее основание $AD = \frac{13}{5}x$.Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. В равнобокой трапеции отрезок AH, отсекаемый высотой на большем основании, равен полуразности оснований:$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{\frac{13}{5}x - x}{2} = \frac{\frac{8}{5}x}{2} = \frac{4}{5}x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По теореме Пифагора:$AB^2 = AH^2 + BH^2$.Подставим известные значения:$x^2 = (\frac{4}{5}x)^2 + 9^2$$x^2 = \frac{16}{25}x^2 + 81$$x^2 - \frac{16}{25}x^2 = 81$$\frac{9}{25}x^2 = 81$$x^2 = \frac{81 \cdot 25}{9} = 9 \cdot 25 = 225$$x = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь найдем длины оснований трапеции:Меньшее основание $BC = x = 15$ см.Большее основание $AD = \frac{13}{5}x = \frac{13}{5} \cdot 15 = 13 \cdot 3 = 39$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$.$S = \frac{39 + 15}{2} \cdot 9 = \frac{54}{2} \cdot 9 = 27 \cdot 9 = 243$ см$^2$.

Ответ: 243 см$^2$.