Номер 12.35, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.35. Рёбра $AB$, $AD$, $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ относятся как $3 : 4 : 5$. Через вершину $A$ проведена плоскость перпендикулярно прямой $B_1D$. Прямая $B_1D$ пересекает эту плоскость в точке $M$. Найдите отношение $B_1M : MD$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем прямоугольную систему координат, поместив ее начало в вершину A параллелепипеда. Направим оси координат вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$.

Пусть $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{d} = \vec{AD}$ и $\vec{a_1} = \vec{AA_1}$ — векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда, выходящим из вершины A. Так как параллелепипед прямоугольный, эти векторы попарно ортогональны:

$\vec{b} \cdot \vec{d} = 0$, $\vec{d} \cdot \vec{a_1} = 0$, $\vec{a_1} \cdot \vec{b} = 0$.

Согласно условию, длины ребер относятся как $3:4:5$. Примем их длины равными $|\vec{b}| = 3k$, $|\vec{d}| = 4k$, $|\vec{a_1}| = 5k$ для некоторого коэффициента пропорциональности $k > 0$.

Найдем векторы, определяющие прямую $B_1D$. Положение вершин $D$ и $B_1$ относительно начала координат $A$ задается радиус-векторами $\vec{AD} = \vec{d}$ и $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{a_1}$.

Направляющий вектор прямой $B_1D$ можно найти как разность векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{DB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AD} = (\vec{b} + \vec{a_1}) - \vec{d} = \vec{b} - \vec{d} + \vec{a_1}$.

Плоскость, о которой говорится в условии, проходит через вершину A (начало координат) и перпендикулярна прямой $B_1D$. Это означает, что вектор $\vec{DB_1}$ является нормальным вектором этой плоскости. Точка $M$ — это точка пересечения прямой $B_1D$ и этой плоскости.

Поскольку точка $M$ лежит на прямой $B_1D$, ее радиус-вектор $\vec{AM}$ можно выразить через радиус-вектор точки $D$ и направляющий вектор $\vec{DB_1}$:

$\vec{AM} = \vec{AD} + t \cdot \vec{DB_1} = \vec{d} + t(\vec{b} - \vec{d} + \vec{a_1})$, где $t$ — некоторый параметр.

Так как точка $M$ лежит в плоскости, проходящей через $A$ и перпендикулярной $\vec{DB_1}$, ее радиус-вектор $\vec{AM}$ должен быть ортогонален вектору $\vec{DB_1}$. Таким образом, их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{AM} \cdot \vec{DB_1} = 0$

$(\vec{d} + t(\vec{b} - \vec{d} + \vec{a_1})) \cdot (\vec{b} - \vec{d} + \vec{a_1}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения и ортогональность векторов $\vec{b}, \vec{d}, \vec{a_1}$:

$\vec{d} \cdot (\vec{b} - \vec{d} + \vec{a_1}) + t(\vec{b} - \vec{d} + \vec{a_1}) \cdot (\vec{b} - \vec{d} + \vec{a_1}) = 0$

$(\vec{d} \cdot \vec{b} - \vec{d} \cdot \vec{d} + \vec{d} \cdot \vec{a_1}) + t(|\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2 + |\vec{a_1}|^2) = 0$

$(0 - |\vec{d}|^2 + 0) + t(|\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2 + |\vec{a_1}|^2) = 0$

$-|\vec{d}|^2 + t(|\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2 + |\vec{a_1}|^2) = 0$

Теперь подставим длины векторов:

$-(4k)^2 + t((3k)^2 + (4k)^2 + (5k)^2) = 0$

$-16k^2 + t(9k^2 + 16k^2 + 25k^2) = 0$

$-16k^2 + t(50k^2) = 0$

Поделив обе части уравнения на $k^2$ (поскольку $k \neq 0$), получим:

$-16 + 50t = 0 \implies 50t = 16 \implies t = \frac{16}{50} = \frac{8}{25}$

Параметр $t$ показывает, какую часть вектора $\vec{DB_1}$ составляет вектор $\vec{DM}$. То есть, $MD = t \cdot B_1D = \frac{8}{25} B_1D$.

Оставшаяся часть отрезка $B_1M$ равна:

$B_1M = B_1D - MD = B_1D - \frac{8}{25} B_1D = \left(1 - \frac{8}{25}\right)B_1D = \frac{17}{25}B_1D$.

Таким образом, искомое отношение $B_1M : MD$ равно:

$\frac{B_1M}{MD} = \frac{\frac{17}{25}B_1D}{\frac{8}{25}B_1D} = \frac{17}{8}$.

Ответ: $17:8$.