Номер 11.25, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.25. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 4\sqrt{5}$ см, $AC = 8$ см.

Точка $D$ расположена на расстоянии $5\sqrt{5}$ см от каждой вершины треугольника $ABC$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$.

Пусть $H$ - искомое расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$. Если мы опустим перпендикуляр $DO$ из точки $D$ на плоскость $ABC$, то его длина и будет равна $H$, а точка $O$ будет проекцией точки $D$ на эту плоскость.

По условию, точка $D$ находится на одинаковом расстоянии от каждой вершины треугольника $ABC$, то есть $DA = DB = DC = 5\sqrt{5}$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle DOA$, $\triangle DOB$ и $\triangle DOC$. Они являются прямоугольными, поскольку $DO$ - перпендикуляр к плоскости $ABC$. У этих треугольников общий катет $DO$ и равные гипотенузы $DA=DB=DC$. Следовательно, по теореме Пифагора, равны и вторые катеты: $OA = OB = OC$.

Это означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, а отрезки $OA$, $OB$, $OC$ - ее радиусом $R$.

Для нахождения расстояния $H = DO$ воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника $\triangle DOA$: $DA^2 = DO^2 + OA^2$. Отсюда $H^2 = DO^2 = DA^2 - R^2$.

Сначала найдем радиус $R$ описанной окружности треугольника $ABC$ со сторонами $AB = BC = 4\sqrt{5}$ см и $AC = 8$ см. Для этого воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ - стороны треугольника, а $S$ - его площадь.

Так как $\triangle ABC$ - равнобедренный ($AB = BC$), проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Из прямоугольного треугольника $\triangle ABH$ по теореме Пифагора найдем высоту $BH$: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 4^2} = \sqrt{16 \cdot 5 - 16} = \sqrt{80 - 16} = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $ABC$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$ см$^2$.

Теперь мы можем вычислить радиус описанной окружности $R$: $R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{4\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 8}{4 \cdot 32} = \frac{16 \cdot 5 \cdot 8}{128} = \frac{640}{128} = 5$ см.

Мы нашли, что $OA = R = 5$ см. Теперь можем найти искомое расстояние $H = DO$: $H^2 = DA^2 - OA^2 = (5\sqrt{5})^2 - 5^2 = (25 \cdot 5) - 25 = 125 - 25 = 100$. $H = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.