Номер 11.50, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.50. Основанием пирамиды $SABC$ является равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $4\sqrt{2}$ см. Ребро $SC$ перпендикулярно плоскости основания и равно 2 см. Точки $M$ и $K$ — середины рёбер $BC$ и $AB$ соответственно. Найдите расстояние между прямыми $SM$ и $CK$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми SM и CK воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке C. Направим ось Ox вдоль ребра CB, а ось Oz — вдоль ребра SC. Поскольку ребро SC перпендикулярно плоскости основания, ось Oz перпендикулярна плоскости Oxy, в которой лежит основание пирамиды — треугольник ABC.

Найдем координаты вершин пирамиды и точек M и K:
1. Точка C — начало координат, ее координаты $C(0, 0, 0)$.
2. Точка S лежит на оси Oz, и по условию $SC = 2$ см. Следовательно, координаты точки $S(0, 0, 2)$.
3. Точка B лежит на оси Ox, и по условию сторона основания равна $4\sqrt{2}$ см, значит $BC = 4\sqrt{2}$. Координаты точки $B(4\sqrt{2}, 0, 0)$.
4. Точка M — середина ребра BC. Ее координаты равны полусумме координат точек B и C:$M\left(\frac{4\sqrt{2}+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = M(2\sqrt{2}, 0, 0)$.
5. Основание ABC — равносторонний треугольник. Найдем координаты точки A. Высота треугольника, опущенная из A на сторону CB, будет иметь основание в середине отрезка CB. Проекция A на ось Ox будет в точке $x = \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$. Длина высоты (координата по Oy) равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{2}\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6}$. Таким образом, $A(2\sqrt{2}, 2\sqrt{6}, 0)$.
6. Точка K — середина ребра AB. Найдем ее координаты:$K\left(\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}; \frac{0+2\sqrt{6}}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = K(3\sqrt{2}, \sqrt{6}, 0)$.

Теперь найдем направляющие векторы прямых SM и CK:
- Для прямой SM: $\vec{s_1} = \vec{SM} = (2\sqrt{2}-0; 0-0; 0-2) = (2\sqrt{2}, 0, -2)$.
- Для прямой CK: $\vec{s_2} = \vec{CK} = (3\sqrt{2}-0; \sqrt{6}-0; 0-0) = (3\sqrt{2}, \sqrt{6}, 0)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ и проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ соответственно, можно найти по формуле:$d = \frac{|(\vec{P_2P_1}, \vec{s_1}, \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$,где $(\vec{P_2P_1}, \vec{s_1}, \vec{s_2})$ — смешанное произведение векторов.В нашем случае $P_1$ — это точка S на прямой SM, а $P_2$ — точка C на прямой CK. Возьмем вектор, соединяющий эти точки, $\vec{p} = \vec{CS} = (0, 0, 2)$.

1. Найдем векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$:
$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2\sqrt{2} & 0 & -2 \\ 3\sqrt{2} & \sqrt{6} & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - (-2) \cdot \sqrt{6}) - \vec{j}(2\sqrt{2} \cdot 0 - (-2) \cdot 3\sqrt{2}) + \vec{k}(2\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} - 0 \cdot 3\sqrt{2}) = 2\sqrt{6}\vec{i} - 6\sqrt{2}\vec{j} + 2\sqrt{12}\vec{k} = (2\sqrt{6}, -6\sqrt{2}, 4\sqrt{3})$.

2. Найдем модуль векторного произведения:
$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + (-6\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{24 + 72 + 48} = \sqrt{144} = 12$.

3. Найдем смешанное произведение векторов $\vec{p}$, $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$:
$(\vec{p}, \vec{s_1}, \vec{s_2}) = \vec{p} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (0, 0, 2) \cdot (2\sqrt{6}, -6\sqrt{2}, 4\sqrt{3}) = 0 \cdot 2\sqrt{6} + 0 \cdot (-6\sqrt{2}) + 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

4. Вычислим искомое расстояние:
$d = \frac{|(\vec{p}, \vec{s_1}, \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|} = \frac{|8\sqrt{3}|}{12} = \frac{8\sqrt{3}}{12} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.