Номер 11.52, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.52. Основанием пирамиды $SABCD$ является ромб $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Прямая $SO$ перпендикулярна плоскости ромба. Точка $K$ — середина ребра $SA$. Точка $X$ принадлежит прямой $DK$. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника $AXC$, если $SO = 42$ см, $AC = 58$ см, $BD = 40$ см.

Площадь треугольника $AXC$ определяется формулой $S_{AXC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_X$, где $h_X$ — высота, проведенная из точки $X$ на прямую $AC$. Поскольку длина основания $AC$ является постоянной величиной ($AC = 58$ см), площадь треугольника будет наименьшей, когда его высота $h_X$ будет иметь наименьшее возможное значение. Высота $h_X$ — это расстояние от точки $X$ до прямой $AC$. Так как точка $X$ принадлежит прямой $DK$, задача сводится к нахождению наименьшего расстояния от точки на прямой $DK$ до прямой $AC$.

1. Введение системы координат
Для удобства вычислений введем трехмерную прямоугольную систему координат.

• Поместим начало координат в точку $O$ — точку пересечения диагоналей ромба $ABCD$.
• Ось $Ox$ направим вдоль прямой $AC$.
• Ось $Oy$ направим вдоль прямой $BD$.
• Ось $Oz$ направим вдоль высоты пирамиды $SO$.

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, а высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, оси координат $Ox$, $Oy$, $Oz$ будут взаимно перпендикулярны.

2. Определение координат ключевых точек
На основе данных из условия задачи найдем координаты необходимых точек.

• $O$ — начало координат, поэтому $O(0, 0, 0)$.
• Диагональ $AC = 58$ см, значит $OA = OC = \frac{58}{2} = 29$ см. Координаты вершин $A$ и $C$: $A(-29, 0, 0)$ и $C(29, 0, 0)$.
• Диагональ $BD = 40$ см, значит $OD = OB = \frac{40}{2} = 20$ см. Координаты вершины $D$: $D(0, 20, 0)$.
• Высота $SO = 42$ см. Координаты вершины $S$: $S(0, 0, 42)$.
• Точка $K$ — середина ребра $SA$. Ее координаты равны полусумме соответствующих координат точек $S$ и $A$: $K\left(\frac{-29+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+42}{2}\right) = K(-14.5, 0, 21)$.

3. Нахождение наименьшего расстояния от точки X до прямой AC
Прямая $AC$ в нашей системе координат совпадает с осью $Ox$. Расстояние от произвольной точки $X(x_X, y_X, z_X)$ до оси $Ox$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{y_X^2 + z_X^2}$. Нам нужно найти такое положение точки $X$ на прямой $DK$, при котором это расстояние будет минимальным.

Это расстояние геометрически равно расстоянию от начала координат $O$ до проекции точки $X$ на плоскость $yz$. Следовательно, чтобы найти минимальное расстояние от точки $X$ на прямой $DK$ до прямой $AC$, нужно найти минимальное расстояние от начала координат $O$ до проекции прямой $DK$ на плоскость $yz$.

Найдем проекции точек $D$ и $K$ на плоскость $yz$ (обнулив их $x$-координаты):

• Проекция точки $D(0, 20, 0)$ есть точка $D'(0, 20, 0)$.
• Проекция точки $K(-14.5, 0, 21)$ есть точка $K'(0, 0, 21)$.

Теперь задача сводится к двумерной: найти в плоскости $yz$ расстояние от начала координат $O(0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $D'(20, 0)$ и $K'(0, 21)$ (рассматривая их координаты как $(y, z)$).

Уравнение прямой в отрезках, проходящей через точки $(a, 0)$ и $(0, b)$, имеет вид $\frac{y}{a} + \frac{z}{b} = 1$. Для наших точек $D'(20, 0)$ и $K'(0, 21)$ получаем: $\frac{y}{20} + \frac{z}{21} = 1$

Приведем уравнение к общему виду $Ay + Bz + C = 0$: $21y + 20z = 420$ $21y + 20z - 420 = 0$

Расстояние от точки $(y_0, z_0)$ до прямой $Ay + Bz + C = 0$ находится по формуле $h = \frac{|Ay_0 + Bz_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. Искомое минимальное расстояние $h_{min}$ — это расстояние от точки $O(0, 0)$ до этой прямой: $h_{min} = \frac{|21 \cdot 0 + 20 \cdot 0 - 420|}{\sqrt{21^2 + 20^2}} = \frac{420}{\sqrt{441 + 400}} = \frac{420}{\sqrt{841}}$

Поскольку $29^2 = 841$, то $\sqrt{841} = 29$. $h_{min} = \frac{420}{29}$ см.

4. Вычисление наименьшей площади треугольника AXC
Подставим найденное минимальное значение высоты $h_{min}$ в формулу для площади треугольника: $S_{min} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_{min} = \frac{1}{2} \cdot 58 \cdot \frac{420}{29}$ $S_{min} = 29 \cdot \frac{420}{29} = 420$ см².

Ответ: 420 см².