Номер 11.53, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.53. Основания трапеции равны 2 см и 18 см. В эту трапецию вписана окружность, и вокруг этой трапеции описана окружность. Найдите радиусы окружностей.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=a=2$ см и $AD=b=18$ см, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$.

1. Так как вокруг трапеции можно описать окружность, то эта трапеция является равнобедренной. Следовательно, ее боковые стороны равны: $AB = CD = c$.

2. Так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы длин ее противоположных сторон равны:$a+b = c+c$$2+18 = 2c$$2c = 20$$c=10$ см.

Таким образом, имеем равнобедренную трапецию с основаниями 2 см и 18 см и боковыми сторонами по 10 см. Теперь найдем радиусы вписанной и описанной окружностей.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, т.е. $h=2r$, где $r$ – радиус вписанной окружности.Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает от большего основания, вычисляется как полуразность оснований:$AH = \frac{AD-BC}{2} = \frac{18-2}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $h$:$h = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:$r = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Ответ: 3 см.

Окружность, описанная вокруг трапеции $ABCD$, является также описанной окружностью для треугольника $ABD$. Найдем радиус $R$ этой окружности.Для этого воспользуемся формулой $R = \frac{xyz}{4S}$, где $x, y, z$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь.

Стороны треугольника $ABD$: $AB=10$ см, $AD=18$ см. Найдем длину диагонали $BD$.Из прямоугольного треугольника $BHD$, где $BH=h=6$ см, а катет $HD = AD - AH = 18 - 8 = 10$ см, по теореме Пифагора:$BD = \sqrt{BH^2 + HD^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$ см.

Площадь треугольника $ABD$:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 6 = 54$ см$^2$.

Теперь можем найти радиус описанной окружности:$R = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4 S_{ABD}} = \frac{10 \cdot 18 \cdot 2\sqrt{34}}{4 \cdot 54} = \frac{360\sqrt{34}}{216}$

Сократим дробь $\frac{360}{216}$ на 72: $\frac{360}{216} = \frac{5 \cdot 72}{3 \cdot 72} = \frac{5}{3}$.Следовательно, $R = \frac{5\sqrt{34}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{5\sqrt{34}}{3}$ см.