Номер 14.53, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.53. Через середину диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ прямоугольника в точках $M$ и $K$ соответственно, $AC = 15$ см, $AK = 4$ см, $KD = 8$ см. Найдите площадь четырёхугольника $AMSK$.

По условию задачи дан прямоугольник ABCD. Это означает, что его противоположные стороны параллельны и равны, а все углы прямые. Таким образом, $AD \parallel BC$ и $AD = BC$. Сторона AD состоит из отрезков AK и KD, поэтому её длина равна:

$AD = AK + KD = 4 \text{ см} + 8 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$, в котором $\angle D = 90^\circ$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AC^2 = AD^2 + CD^2$.

Из этой формулы найдём длину стороны CD:

$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$

$CD = \sqrt{81} = 9 \text{ см}$

Прямая MK проходит через середину диагонали AC. Обозначим середину AC как точку O. Рассмотрим треугольники $\triangle AOK$ и $\triangle COM$.

В этих треугольниках:

1. $AO = CO$, так как O — середина AC по условию.

2. $\angle KAO = \angle MCO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).

3. $\angle AOK = \angle COM$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники $\triangle AOK$ и $\triangle COM$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AK = CM$. Так как $AK = 4 \text{ см}$, то и $CM = 4 \text{ см}$.

Рассмотрим четырёхугольник AMCK. Его стороны AK и CM лежат на параллельных прямых AD и BC, следовательно, $AK \parallel CM$. Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, является трапецией. Высотой этой трапеции является перпендикуляр между прямыми AD и BC, который равен длине стороны CD, то есть $h = CD = 9 \text{ см}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания, а $h$ - высота.

Подставим наши значения:

$S_{AMCK} = \frac{AK + CM}{2} \cdot CD = \frac{4 + 4}{2} \cdot 9 = \frac{8}{2} \cdot 9 = 4 \cdot 9 = 36 \text{ см}^2$.

Так как у трапеции AMCK основания равны ($AK = CM$), то она является параллелограммом. Площадь параллелограмма также можно найти как произведение основания на высоту: $S_{AMCK} = AK \cdot CD = 4 \cdot 9 = 36 \text{ см}^2$.

Ответ: $36 \text{ см}^2$.