Номер 15.4, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.4. Опишите, как можно построить плоскость, перпендикулярную двум другим пересекающимся плоскостям.

Пусть даны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Требуется описать способ построения третьей плоскости $\gamma$, которая будет перпендикулярна обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$.

В основе построения лежит следующее свойство: если плоскость перпендикулярна двум пересекающимся плоскостям, то она перпендикулярна их линии пересечения. Справедливо и обратное утверждение, которое мы можем использовать для построения: любая плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна и самим этим плоскостям.

Докажем это утверждение.
Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $l$.
Пусть плоскость $\gamma$ построена так, что она перпендикулярна прямой $l$ ($\gamma \perp l$).
Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Рассмотрим плоскости $\alpha$ и $\gamma$. Прямая $l$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($l \subset \alpha$) и по построению перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($l \perp \gamma$). Следовательно, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\alpha \perp \gamma$).
Аналогично рассмотрим плоскости $\beta$ и $\gamma$. Прямая $l$ принадлежит плоскости $\beta$ ($l \subset \beta$) и перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($l \perp \gamma$). Следовательно, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\beta \perp \gamma$).
Таким образом, любая плоскость, перпендикулярная линии пересечения $l$, удовлетворяет условию задачи.

Исходя из этого, алгоритм построения искомой плоскости будет следующим:

1. Найти линию пересечения $l$ двух данных плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
2. Выбрать произвольную точку $P$ в пространстве.
3. Через точку $P$ построить плоскость $\gamma$, перпендикулярную прямой $l$.

Построенная таким образом плоскость $\gamma$ будет перпендикулярна обеим исходным плоскостям $\alpha$ и $\beta$.

Ответ: Чтобы построить плоскость, перпендикулярную двум другим пересекающимся плоскостям, необходимо найти их линию пересечения и построить любую плоскость, перпендикулярную этой линии.