Номер 15.2, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.2. На рисунке 15.10 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Определите, перпендикулярны ли плоскости:

1) $A_1B_1C_1$ и $CDD_1$;

2) $ABC$ и $A_1B_1C_1$;

3) $AA_1C_1$ и $ABC$;

4) $ACC_1$ и $BDD_1$.

Рис. 15.10

Для определения перпендикулярности плоскостей будем использовать признак перпендикулярности двух плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

1) A₁B₁C₁ и CDD₁;

Плоскость $A₁B₁C₁$ является плоскостью верхней грани куба, а плоскость $CDD₁$ — плоскостью правой боковой грани. Рассмотрим ребро $DD₁$. Так как $ABCDA₁B₁C₁D₁$ — куб, его боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Следовательно, ребро $DD₁$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A₁B₁C₁D₁$, то есть $DD₁ \perp (A₁B₁C₁)$. Прямая $DD₁$ принадлежит плоскости $CDD₁$. Поскольку плоскость $CDD₁$ содержит прямую $DD₁$, перпендикулярную плоскости $A₁B₁C₁$, то плоскости $A₁B₁C₁$ и $CDD₁$ перпендикулярны.
Ответ: плоскости перпендикулярны.

2) ABC и A₁B₁C₁;

Плоскость $ABC$ является плоскостью нижнего основания куба, а плоскость $A₁B₁C₁$ — плоскостью верхнего основания. В кубе плоскости оснований параллельны друг другу. Параллельные плоскости не могут быть перпендикулярными, так как угол между ними равен $0^\circ$.
Ответ: плоскости не перпендикулярны (они параллельны).

3) AA₁C₁ и ABC;

Плоскость $AA₁C₁$ является диагональным сечением куба, проходящим через вершины $A, C, C₁, A₁$. Плоскость $ABC$ — это плоскость нижнего основания. Ребро $AA₁$ является боковым ребром куба, и по свойству куба оно перпендикулярно плоскости основания $ABC$. То есть, $AA₁ \perp (ABC)$. Прямая $AA₁$ лежит в плоскости $AA₁C₁$. Применяя признак перпендикулярности двух плоскостей, заключаем, что если плоскость ($AA₁C₁$) проходит через прямую ($AA₁$), перпендикулярную другой плоскости ($ABC$), то эти плоскости перпендикулярны.
Ответ: плоскости перпендикулярны.

4) ACC₁ и BDD₁.

Плоскости $ACC₁$ (или $AA₁C₁C$) и $BDD₁$ (или $BB₁D₁D$) являются диагональными сечениями куба. Рассмотрим прямую $BD$, которая лежит в плоскости $BDD₁$. В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, $BD \perp AC$. Боковое ребро $AA₁$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости. Таким образом, $AA₁ \perp BD$. Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA₁$) в плоскости $ACC₁$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна всей плоскости $ACC₁$. Так как плоскость $BDD₁$ проходит через прямую $BD$, перпендикулярную плоскости $ACC₁$, то плоскости $ACC₁$ и $BDD₁$ перпендикулярны.
Ответ: плоскости перпендикулярны.