Номер 15.8, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.8. Отрезок $MB$ — перпендикуляр к плоскости квадрата $ABCD$

(рис. 15.13). Докажите перпендикулярность плоскостей:

1) $ABM$ и $ABC$;

2) $ABM$ и $CBM$;

3) $AMB$ и $AMD$.

Рис. 15.13

По условию задачи, отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости квадрата $ABCD$. Это означает, что прямая $MB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $MB \perp AB$, $MB \perp BC$ и $MB \perp AD$.

Также, поскольку $ABCD$ — квадрат, его смежные стороны перпендикулярны: $AB \perp BC$ и $AB \perp AD$.

Для доказательства перпендикулярности двух плоскостей будем использовать признак перпендикулярности двух плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

1) ABM и ABC

Рассмотрим плоскости $ABM$ и $ABC$. Плоскость $ABC$ является плоскостью квадрата $ABCD$.
1. Плоскость $ABM$ проходит через прямую $MB$.
2. По условию задачи, прямая $MB$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, а значит, и плоскости $ABC$. Таким образом, $MB \perp (ABC)$.
3. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, так как плоскость $ABM$ проходит через прямую $MB$, перпендикулярную плоскости $ABC$, то плоскости $ABM$ и $ABC$ перпендикулярны.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Перпендикулярность плоскостей $ABM$ и $ABC$ доказана.

2) ABM и CBM

Рассмотрим плоскости $ABM$ и $CBM$.
1. Прямая $BC$ лежит в плоскости $CBM$.
2. Так как $ABCD$ — квадрат, его стороны $AB$ и $BC$ перпендикулярны, то есть $BC \perp AB$.
3. Так как $MB \perp (ABCD)$, а прямая $BC$ лежит в плоскости $ABCD$, то $MB \perp BC$.
4. Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $MB$ в плоскости $ABM$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ABM$, то есть $BC \perp (ABM)$.
5. Плоскость $CBM$ проходит через прямую $BC$, перпендикулярную плоскости $ABM$.
6. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость $CBM$ перпендикулярна плоскости $ABM$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Перпендикулярность плоскостей $ABM$ и $CBM$ доказана.

3) AMB и AMD

Плоскость $AMB$ — это та же плоскость, что и $ABM$. Рассмотрим плоскости $ABM$ и $AMD$.
1. Прямая $AD$ лежит в плоскости $AMD$.
2. Так как $ABCD$ — квадрат, его стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны, то есть $AD \perp AB$.
3. Так как $MB \perp (ABCD)$, а прямая $AD$ лежит в плоскости $ABCD$, то $MB \perp AD$.
4. Прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $MB$ в плоскости $ABM$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABM$, то есть $AD \perp (ABM)$.
5. Плоскость $AMD$ проходит через прямую $AD$, перпендикулярную плоскости $ABM$.
6. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость $AMD$ перпендикулярна плоскости $ABM$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Перпендикулярность плоскостей $AMB$ и $AMD$ доказана.