Страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.7. Равнобедренные прямоугольные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общую гипотенузу $AC$, равную 6 см, а их плоскости перпендикулярны (рис. 15.12). Найдите расстояние между точками $B$ и $D$.

Рис. 15.12

По условию задачи, треугольники $ABC$ и $ADC$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой $AC = 6$ см.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как он прямоугольный и равнобедренный, то его прямой угол — $\angle B = 90^{\circ}$. Проведем медиану $BM$ к гипотенузе $AC$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
$BM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Поскольку треугольник $ABC$ также и равнобедренный ($AB = BC$), медиана $BM$ является и высотой, то есть $BM \perp AC$.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $ADC$. Он также является прямоугольным и равнобедренным, следовательно, его прямой угол — $\angle D = 90^{\circ}$. Проведем медиану $DM$ к гипотенузе $AC$.
$DM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Поскольку треугольник $ADC$ равнобедренный ($AD = DC$), медиана $DM$ является и высотой, то есть $DM \perp AC$.

3. По условию, плоскости треугольников $ABC$ и $ADC$ перпендикулярны. Линия их пересечения — это общая гипотенуза $AC$.
Мы установили, что $BM \perp AC$ и $DM \perp AC$. Угол между двумя перпендикулярными плоскостями измеряется углом между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения из одной точки. Таким образом, угол между отрезками $BM$ и $DM$ равен $90^{\circ}$.
Следовательно, $\angle BMD = 90^{\circ}$, и треугольник $BMD$ является прямоугольным.

4. В прямоугольном треугольнике $BMD$ катеты $BM = 3$ см и $DM = 3$ см. Расстояние между точками $B$ и $D$ — это длина гипотенузы $BD$. По теореме Пифагора:
$BD^2 = BM^2 + DM^2$
$BD^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$
$BD = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

15.8. Отрезок $MB$ — перпендикуляр к плоскости квадрата $ABCD$

(рис. 15.13). Докажите перпендикулярность плоскостей:

1) $ABM$ и $ABC$;

2) $ABM$ и $CBM$;

3) $AMB$ и $AMD$.

Рис. 15.13

По условию задачи, отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости квадрата $ABCD$. Это означает, что прямая $MB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $MB \perp AB$, $MB \perp BC$ и $MB \perp AD$.

Также, поскольку $ABCD$ — квадрат, его смежные стороны перпендикулярны: $AB \perp BC$ и $AB \perp AD$.

Для доказательства перпендикулярности двух плоскостей будем использовать признак перпендикулярности двух плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

1) ABM и ABC

Рассмотрим плоскости $ABM$ и $ABC$. Плоскость $ABC$ является плоскостью квадрата $ABCD$.
1. Плоскость $ABM$ проходит через прямую $MB$.
2. По условию задачи, прямая $MB$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, а значит, и плоскости $ABC$. Таким образом, $MB \perp (ABC)$.
3. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, так как плоскость $ABM$ проходит через прямую $MB$, перпендикулярную плоскости $ABC$, то плоскости $ABM$ и $ABC$ перпендикулярны.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Перпендикулярность плоскостей $ABM$ и $ABC$ доказана.

2) ABM и CBM

Рассмотрим плоскости $ABM$ и $CBM$.
1. Прямая $BC$ лежит в плоскости $CBM$.
2. Так как $ABCD$ — квадрат, его стороны $AB$ и $BC$ перпендикулярны, то есть $BC \perp AB$.
3. Так как $MB \perp (ABCD)$, а прямая $BC$ лежит в плоскости $ABCD$, то $MB \perp BC$.
4. Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $MB$ в плоскости $ABM$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ABM$, то есть $BC \perp (ABM)$.
5. Плоскость $CBM$ проходит через прямую $BC$, перпендикулярную плоскости $ABM$.
6. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость $CBM$ перпендикулярна плоскости $ABM$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Перпендикулярность плоскостей $ABM$ и $CBM$ доказана.

3) AMB и AMD

Плоскость $AMB$ — это та же плоскость, что и $ABM$. Рассмотрим плоскости $ABM$ и $AMD$.
1. Прямая $AD$ лежит в плоскости $AMD$.
2. Так как $ABCD$ — квадрат, его стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны, то есть $AD \perp AB$.
3. Так как $MB \perp (ABCD)$, а прямая $AD$ лежит в плоскости $ABCD$, то $MB \perp AD$.
4. Прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $MB$ в плоскости $ABM$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABM$, то есть $AD \perp (ABM)$.
5. Плоскость $AMD$ проходит через прямую $AD$, перпендикулярную плоскости $ABM$.
6. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость $AMD$ перпендикулярна плоскости $ABM$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Перпендикулярность плоскостей $AMB$ и $AMD$ доказана.

15.9. Отрезок $AD$ — перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$, $\angle ACB = 90^\circ$ (рис. 15.14). Докажите, что плоскости $BCD$ и $ACD$ перпендикулярны.

Рис. 15.14

Для доказательства перпендикулярности плоскостей $BCD$ и $ACD$ воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Мы докажем, что прямая $BC$, лежащая в плоскости $BCD$, перпендикулярна плоскости $ACD$. Для этого нужно показать, что прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $ACD$.

1. По условию задачи отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. По определению, прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поскольку прямая $BC$ лежит в плоскости $ABC$, то $AD \perp BC$.

2. По условию задачи $\angle ACB = 90^\circ$. Это означает, что прямая $BC$ перпендикулярна прямой $AC$, то есть $BC \perp AC$.

Таким образом, прямая $BC$ перпендикулярна двум прямым — $AD$ и $AC$, которые лежат в плоскости $ACD$ и пересекаются в точке $A$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ACD$.

Так как плоскость $BCD$ проходит через прямую $BC$, а прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ACD$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $BCD$ перпендикулярна плоскости $ACD$.

Ответ: Перпендикулярность плоскостей $BCD$ и $ACD$ доказана.

15.10. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, точка $M$ не принадлежит плоскости $ABC$ (рис. 15.15). Докажите, что если $MA = MC$ и $MB = MD$, то плоскости $ABC$ и $BMD$ перпендикулярны.

Рис. 15.15

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали $AC$ и $BD$ в точке пересечения $O$ делятся пополам. Таким образом, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. По условию $MA = MC$, следовательно, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. Отрезок $MO$ соединяет вершину $M$ с серединой основания $AC$, значит, $MO$ — медиана треугольника $AMC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MO \perp AC$.

Рассмотрим треугольник $BMD$. По условию $MB = MD$, следовательно, этот треугольник также является равнобедренным с основанием $BD$. Отрезок $MO$ является медианой, проведенной к основанию $BD$, а значит и высотой. Следовательно, $MO \perp BD$.

Прямые $AC$ и $BD$ лежат в плоскости $ABC$ и пересекаются в точке $O$. Поскольку прямая $MO$ перпендикулярна двум этим пересекающимся прямым ($MO \perp AC$ и $MO \perp BD$), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $MO$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Запишем это как $MO \perp (ABC)$.

Плоскость $BMD$ проходит через прямую $MO$ (так как точки $M$ и $O$ принадлежат этой плоскости). По признаку перпендикулярности плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Так как плоскость $BMD$ содержит прямую $MO$, перпендикулярную плоскости $ABC$, то плоскость $BMD$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

15.11. Диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$, отрезок $MO$ – перпендикуляр к плоскости $ABC$. Докажите, что плоскости $ABC$ и $BMD$ перпендикулярны.

Поскольку $ABCD$ — это ромб, его диагонали $AC$ и $BD$ по свойству ромба взаимно перпендикулярны. Точка их пересечения — $O$, следовательно, $AC \perp BD$.

По условию задачи, отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости $ABC$. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что прямая $MO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$ и проходящей через точку $O$. Прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$ и проходит через точку $O$, значит $MO \perp AC$.

Прямые $BD$ и $MO$ пересекаются в точке $O$ и определяют плоскость $BMD$. Мы установили, что прямая $AC$ перпендикулярна каждой из этих прямых: $AC \perp BD$ и $AC \perp MO$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BMD$, что записывается как $AC \perp (BMD)$.

Теперь рассмотрим плоскость $ABC$. Она проходит через прямую $AC$, которая, как мы доказали, перпендикулярна плоскости $BMD$.

Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Следовательно, плоскость $(ABC)$ перпендикулярна плоскости $(BMD)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Плоскости $ABC$ и $BMD$ перпендикулярны.

15.12. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины рёбер $AB$ и $BC$ и перпендикулярной плоскости $ABC$.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$ и $N$ — середина ребра $BC$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Поскольку искомая секущая плоскость (обозначим её $\alpha$) проходит через точки $M$ и $N$, то прямая $MN$ лежит в этой плоскости. Так как точки $M$ и $N$ принадлежат плоскости нижнего основания $ABC$, то прямая $MN$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $ABC$.

По условию, секущая плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Из признака перпендикулярности двух плоскостей следует, что если одна плоскость (в нашем случае $\alpha$) проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости (в нашем случае $ABC$), то эти плоскости перпендикулярны.

В прямоугольном параллелепипеде боковые рёбра (например, $AA_1$, $BB_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Следовательно, для выполнения условия задачи, секущая плоскость $\alpha$ должна содержать прямую, параллельную боковым рёбрам.

Таким образом, алгоритм построения сечения следующий:

1. Отметить на рёбрах $AB$ и $BC$ их середины — точки $M$ и $N$.
2. Соединить точки $M$ и $N$ отрезком. Этот отрезок $MN$ является одной из сторон искомого сечения и лежит в плоскости основания $ABCD$.
3. Через точку $M$ провести прямую, параллельную боковому ребру $AA_1$. Эта прямая лежит в плоскости сечения $\alpha$ и в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Точку пересечения этой прямой с ребром $A_1B_1$ обозначим $M_1$. Поскольку $M$ — середина $AB$ и $MM_1 \parallel AA_1$, то по теореме Фалеса $M_1$ — середина $A_1B_1$.
4. Аналогично, через точку $N$ провести прямую, параллельную боковому ребру $BB_1$. Точку пересечения этой прямой с ребром $B_1C_1$ обозначим $N_1$. Поскольку $N$ — середина $BC$ и $NN_1 \parallel BB_1$, то $N_1$ — середина $B_1C_1$.
5. Соединить точки $M_1$ и $N_1$ отрезком. Так как плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны, то линии их пересечения с секущей плоскостью $\alpha$ также параллельны, то есть $M_1N_1 \parallel MN$.
6. Соединить точки $M$ с $M_1$ и $N$ с $N_1$. Полученный четырёхугольник $MNN_1M_1$ является искомым сечением.

Докажем, что полученное сечение является прямоугольником. По построению $MM_1 \parallel AA_1$ и $NN_1 \parallel BB_1$. Так как в параллелепипеде $AA_1 \parallel BB_1$ и $AA_1 = BB_1$, то и $MM_1 \parallel NN_1$ и $MM_1 = NN_1$. Четырёхугольник $MNN_1M_1$, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом.

Поскольку $MM_1 \parallel AA_1$ и $AA_1 \perp$ (пл. $ABC$), то и $MM_1 \perp$ (пл. $ABC$). Прямая $MN$ лежит в плоскости $ABC$, следовательно, $MM_1 \perp MN$. Таким образом, угол $\angle M_1MN$ прямой. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Ответ: Искомое сечение – это четырёхугольник $MNN_1M_1$, где $M$ – середина ребра $AB$, $N$ – середина ребра $BC$, $M_1$ – середина ребра $A_1B_1$, $N_1$ – середина ребра $B_1C_1$. Для построения сечения необходимо соединить точки $M$ и $N$, затем провести через них отрезки $MM_1$ и $NN_1$, параллельные боковому ребру $AA_1$, до пересечения с рёбрами верхнего основания. Полученный четырёхугольник $MNN_1M_1$ является искомым сечением и представляет собой прямоугольник.

15.13. Рёбра тетраэдра $DABC$ равны, точки $E$ и $F$ — середины рёбер $AD$ и $BC$ (рис. 15.16). Докажите перпендикулярность плоскостей:

1) $ADF$ и $BCD$;

2) $ADF$ и $BCE$.

Рис. 15.16

Поскольку все рёбра тетраэдра $DABC$ равны, то тетраэдр является правильным. Все его грани – равные равносторонние треугольники.

1)

Рассмотрим грань $BCD$. Это равносторонний треугольник. Точка $F$ – середина стороны $BC$, следовательно, медиана $DF$ является также и высотой. Таким образом, $DF \perp BC$.

Рассмотрим грань $ABC$. Это также равносторонний треугольник. Точка $F$ – середина стороны $BC$, следовательно, медиана $AF$ является также и высотой. Таким образом, $AF \perp BC$.

Прямые $AF$ и $DF$ пересекаются в точке $F$ и лежат в плоскости $ADF$. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AF$ и $DF$) в плоскости $ADF$, то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $ADF$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости ($BC \perp ADF$).

Плоскость $BCD$ проходит через прямую $BC$, которая перпендикулярна плоскости $ADF$. По признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Следовательно, плоскость $ADF$ перпендикулярна плоскости $BCD$.

Ответ: Доказано.

2)

В пункте 1 было доказано, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADF$ ($BC \perp ADF$).

Плоскость $BCE$ проходит через прямую $BC$.

По признаку перпендикулярности двух плоскостей, если плоскость ($BCE$) проходит через прямую ($BC$), перпендикулярную другой плоскости ($ADF$), то эти плоскости перпендикулярны. Следовательно, плоскость $ADF$ перпендикулярна плоскости $BCE$.

Ответ: Доказано.

15.14. Концы отрезка принадлежат двум перпендикулярным плоскостям, а расстояния от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны 15 см и 16 см. Расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из концов отрезка к линии пересечения данных плоскостей, равно 12 см. Найдите данный отрезок.

Пусть даны две перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть $l$ — линия их пересечения. Отрезок $AB$ таков, что его концы принадлежат этим плоскостям: точка $A \in \alpha$ и точка $B \in \beta$.

Из точек $A$ и $B$ опустим перпендикуляры на линию пересечения $l$. Пусть $A'$ и $B'$ — основания этих перпендикуляров на прямой $l$. Тогда по определению расстояния от точки до прямой:

• $AA'$ — расстояние от точки $A$ до прямой $l$, $AA' = 15$ см.
• $BB'$ — расстояние от точки $B$ до прямой $l$, $BB' = 16$ см.

Расстояние между основаниями этих перпендикуляров равно $A'B' = 12$ см. Необходимо найти длину отрезка $AB$.

Решение:

Рассмотрим пространственную конструкцию, образованную точками $A, B, A', B'$. Отрезок $AB$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $\triangle AB'B$, так как $BB'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Докажем это.

Так как $B \in \beta$ и $B' \in l$, то отрезок $BB'$ полностью лежит в плоскости $\beta$ ($BB' \subset \beta$). По условию $BB' \perp l$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$), то любая прямая в одной плоскости, перпендикулярная линии их пересечения, будет перпендикулярна и другой плоскости. Следовательно, $BB' \perp \alpha$.

Так как $BB'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отрезок $AB'$ лежит в плоскости $\alpha$ (поскольку $A \in \alpha$ и $B' \in l \subset \alpha$). Следовательно, $BB' \perp AB'$. Это означает, что треугольник $\triangle AB'B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B'$.

По теореме Пифагора для $\triangle AB'B$:
$AB^2 = (AB')^2 + (BB')^2$

Теперь найдем длину катета $AB'$. Рассмотрим треугольник $\triangle AA'B'$. Отрезок $AA'$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$, $A' \in l \subset \alpha$). По построению $AA' \perp l$. Отрезок $A'B'$ лежит на прямой $l$. Следовательно, $AA' \perp A'B'$, и треугольник $\triangle AA'B'$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A'$.

По теореме Пифагора для $\triangle AA'B'$:
$(AB')^2 = (AA')^2 + (A'B')^2$

Подставим это выражение в первую формулу: $AB^2 = ((AA')^2 + (A'B')^2) + (BB')^2$ $AB^2 = (AA')^2 + (A'B')^2 + (BB')^2$

Подставим известные значения: $AB^2 = 15^2 + 12^2 + 16^2$ $AB^2 = 225 + 144 + 256$ $AB^2 = 369 + 256$ $AB^2 = 625$ $AB = \sqrt{625} = 25$ см.

Длина искомого отрезка равна 25 см.

Ответ: 25 см.

15.15. Точки $A$ и $B$ лежат в перпендикулярных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Из точек $A$ и $B$ опустили перпендикуляры $AC$ и $BD$ на линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Найдите расстояние от точки $B$ до линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, если расстояние от точки $A$ до этой линии равно $9$ см, $AB = 17$ см, $CD = 12$ см.

Пусть $l$ — линия пересечения перпендикулярных плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

По условию задачи:

• Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$).
• Точка $B$ лежит в плоскости $\beta$ ($B \in \beta$).
• $AC$ — перпендикуляр из точки $A$ на линию $l$, поэтому $AC \perp l$ и точка $C$ лежит на $l$. Длина $AC$ — это расстояние от точки $A$ до линии пересечения, $AC = 9$ см.
• $BD$ — перпендикуляр из точки $B$ на линию $l$, поэтому $BD \perp l$ и точка $D$ лежит на $l$. Длина $BD$ — это искомое расстояние от точки $B$ до линии пересечения. Обозначим $BD = x$.
• Расстояние между точками $A$ и $B$ равно $AB = 17$ см.
• Расстояние между основаниями перпендикуляров на линии пересечения равно $CD = 12$ см.

Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны ($ \alpha \perp \beta$), а прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$) и перпендикулярна линии их пересечения $l$ ($AC \perp l$), то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $\beta$ ($AC \perp \beta$).

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отрезок $CB$ лежит в плоскости $\beta$ (так как точки $C$ и $B$ принадлежат $\beta$). Следовательно, $AC \perp CB$. Это означает, что треугольник $ACB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$).

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ACB$, где $AB$ — гипотенуза, а $AC$ и $CB$ — катеты:

$AB^2 = AC^2 + CB^2$

Подставим известные значения:

$17^2 = 9^2 + CB^2$

$289 = 81 + CB^2$

$CB^2 = 289 - 81 = 208$

Теперь рассмотрим фигуру в плоскости $\beta$. В этой плоскости лежат точки $B$, $C$ и $D$. По условию, $BD$ — перпендикуляр к прямой $l$. Так как точки $C$ и $D$ лежат на прямой $l$, то $BD \perp CD$. Следовательно, треугольник $BDC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$ ($\angle BDC = 90^\circ$).

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $BDC$, где $CB$ — гипотенуза, а $BD$ и $CD$ — катеты:

$CB^2 = BD^2 + CD^2$

Подставим известные значения и найденное значение $CB^2$:

$208 = x^2 + 12^2$

$208 = x^2 + 144$

$x^2 = 208 - 144 = 64$

$x = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ равно 8 см.

Ответ: 8 см.