gdz.top
Номер 15.10, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 15. Перпендикулярные плоскости - номер 15.10, страница 171.
№15.9
№15.10 (с. 171)
Условие. №15.10 (с. 171)
15.10. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, точка $M$ не принадлежит плоскости $ABC$ (рис. 15.15). Докажите, что если $MA = MC$ и $MB = MD$, то плоскости $ABC$ и $BMD$ перпендикулярны.
Рис. 15.15
Решение. №15.10 (с. 171)
Решение 2. №15.10 (с. 171)
Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали $AC$ и $BD$ в точке пересечения $O$ делятся пополам. Таким образом, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.
Рассмотрим треугольник $AMC$. По условию $MA = MC$, следовательно, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. Отрезок $MO$ соединяет вершину $M$ с серединой основания $AC$, значит, $MO$ — медиана треугольника $AMC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MO \perp AC$.
Рассмотрим треугольник $BMD$. По условию $MB = MD$, следовательно, этот треугольник также является равнобедренным с основанием $BD$. Отрезок $MO$ является медианой, проведенной к основанию $BD$, а значит и высотой. Следовательно, $MO \perp BD$.
Прямые $AC$ и $BD$ лежат в плоскости $ABC$ и пересекаются в точке $O$. Поскольку прямая $MO$ перпендикулярна двум этим пересекающимся прямым ($MO \perp AC$ и $MO \perp BD$), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $MO$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Запишем это как $MO \perp (ABC)$.
Плоскость $BMD$ проходит через прямую $MO$ (так как точки $M$ и $O$ принадлежат этой плоскости). По признаку перпендикулярности плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Так как плоскость $BMD$ содержит прямую $MO$, перпендикулярную плоскости $ABC$, то плоскость $BMD$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 15.10 расположенного на странице 171 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №15.10 (с. 171), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.