Номер 15.12, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.12. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины рёбер $AB$ и $BC$ и перпендикулярной плоскости $ABC$.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$ и $N$ — середина ребра $BC$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Поскольку искомая секущая плоскость (обозначим её $\alpha$) проходит через точки $M$ и $N$, то прямая $MN$ лежит в этой плоскости. Так как точки $M$ и $N$ принадлежат плоскости нижнего основания $ABC$, то прямая $MN$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $ABC$.

По условию, секущая плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Из признака перпендикулярности двух плоскостей следует, что если одна плоскость (в нашем случае $\alpha$) проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости (в нашем случае $ABC$), то эти плоскости перпендикулярны.

В прямоугольном параллелепипеде боковые рёбра (например, $AA_1$, $BB_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Следовательно, для выполнения условия задачи, секущая плоскость $\alpha$ должна содержать прямую, параллельную боковым рёбрам.

Таким образом, алгоритм построения сечения следующий:

1. Отметить на рёбрах $AB$ и $BC$ их середины — точки $M$ и $N$.
2. Соединить точки $M$ и $N$ отрезком. Этот отрезок $MN$ является одной из сторон искомого сечения и лежит в плоскости основания $ABCD$.
3. Через точку $M$ провести прямую, параллельную боковому ребру $AA_1$. Эта прямая лежит в плоскости сечения $\alpha$ и в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Точку пересечения этой прямой с ребром $A_1B_1$ обозначим $M_1$. Поскольку $M$ — середина $AB$ и $MM_1 \parallel AA_1$, то по теореме Фалеса $M_1$ — середина $A_1B_1$.
4. Аналогично, через точку $N$ провести прямую, параллельную боковому ребру $BB_1$. Точку пересечения этой прямой с ребром $B_1C_1$ обозначим $N_1$. Поскольку $N$ — середина $BC$ и $NN_1 \parallel BB_1$, то $N_1$ — середина $B_1C_1$.
5. Соединить точки $M_1$ и $N_1$ отрезком. Так как плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны, то линии их пересечения с секущей плоскостью $\alpha$ также параллельны, то есть $M_1N_1 \parallel MN$.
6. Соединить точки $M$ с $M_1$ и $N$ с $N_1$. Полученный четырёхугольник $MNN_1M_1$ является искомым сечением.

Докажем, что полученное сечение является прямоугольником. По построению $MM_1 \parallel AA_1$ и $NN_1 \parallel BB_1$. Так как в параллелепипеде $AA_1 \parallel BB_1$ и $AA_1 = BB_1$, то и $MM_1 \parallel NN_1$ и $MM_1 = NN_1$. Четырёхугольник $MNN_1M_1$, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом.

Поскольку $MM_1 \parallel AA_1$ и $AA_1 \perp$ (пл. $ABC$), то и $MM_1 \perp$ (пл. $ABC$). Прямая $MN$ лежит в плоскости $ABC$, следовательно, $MM_1 \perp MN$. Таким образом, угол $\angle M_1MN$ прямой. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Ответ: Искомое сечение – это четырёхугольник $MNN_1M_1$, где $M$ – середина ребра $AB$, $N$ – середина ребра $BC$, $M_1$ – середина ребра $A_1B_1$, $N_1$ – середина ребра $B_1C_1$. Для построения сечения необходимо соединить точки $M$ и $N$, затем провести через них отрезки $MM_1$ и $NN_1$, параллельные боковому ребру $AA_1$, до пересечения с рёбрами верхнего основания. Полученный четырёхугольник $MNN_1M_1$ является искомым сечением и представляет собой прямоугольник.