Номер 15.6, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.6. Плоскости правильных треугольников $ABC$ и $ADC$ перпендикулярны. Найдите угол между прямой $BD$ и плоскостью $ABC$.

Пусть сторона правильных треугольников $ABC$ и $ADC$ равна $a$. Таким образом, $AB = BC = AC = AD = DC = a$.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Чтобы найти искомый угол, необходимо построить проекцию прямой $BD$ на плоскость $(ABC)$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $D$ на плоскость $(ABC)$.

Проведем в треугольниках $ABC$ и $ADC$ высоты к их общему основанию $AC$. Пусть $M$ — середина отрезка $AC$. Так как треугольники $ABC$ и $ADC$ равносторонние (правильные), их высоты $BM$ и $DM$ являются также и медианами. Следовательно, $BM \perp AC$ и $DM \perp AC$.

По условию, плоскости $(ABC)$ и $(ADC)$ перпендикулярны. Линия их пересечения — прямая $AC$. Прямая $DM$ лежит в плоскости $(ADC)$ и перпендикулярна линии пересечения $AC$. По свойству перпендикулярных плоскостей, если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. Следовательно, $DM \perp (ABC)$.

Таким образом, отрезок $DM$ является перпендикуляром, опущенным из точки $D$ на плоскость $(ABC)$, а отрезок $BM$ является проекцией наклонной $BD$ на эту плоскость.

Искомый угол — это угол между наклонной $BD$ и её проекцией $BM$, то есть угол $\angle DBM$.

Рассмотрим треугольник $DMB$. Поскольку $DM \perp (ABC)$, то прямая $DM$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $BM$. Значит, $\triangle DMB$ — прямоугольный с прямым углом $\angle DMB$.

Найдем длины катетов $BM$ и $DM$. $BM$ и $DM$ — это высоты в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Так как катеты $BM$ и $DM$ в прямоугольном треугольнике $DMB$ равны, этот треугольник является равнобедренным. Острые углы в равнобедренном прямоугольном треугольнике равны $45^\circ$.

Также можно найти тангенс угла $\angle DBM$ через отношение катетов:
$\tan(\angle DBM) = \frac{DM}{BM} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = 1$.

Отсюда следует, что $\angle DBM = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.