Номер 15.7, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.7. Равнобедренные прямоугольные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общую гипотенузу $AC$, равную 6 см, а их плоскости перпендикулярны (рис. 15.12). Найдите расстояние между точками $B$ и $D$.

Рис. 15.12

По условию задачи, треугольники $ABC$ и $ADC$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой $AC = 6$ см.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как он прямоугольный и равнобедренный, то его прямой угол — $\angle B = 90^{\circ}$. Проведем медиану $BM$ к гипотенузе $AC$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
$BM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Поскольку треугольник $ABC$ также и равнобедренный ($AB = BC$), медиана $BM$ является и высотой, то есть $BM \perp AC$.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $ADC$. Он также является прямоугольным и равнобедренным, следовательно, его прямой угол — $\angle D = 90^{\circ}$. Проведем медиану $DM$ к гипотенузе $AC$.
$DM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Поскольку треугольник $ADC$ равнобедренный ($AD = DC$), медиана $DM$ является и высотой, то есть $DM \perp AC$.

3. По условию, плоскости треугольников $ABC$ и $ADC$ перпендикулярны. Линия их пересечения — это общая гипотенуза $AC$.
Мы установили, что $BM \perp AC$ и $DM \perp AC$. Угол между двумя перпендикулярными плоскостями измеряется углом между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения из одной точки. Таким образом, угол между отрезками $BM$ и $DM$ равен $90^{\circ}$.
Следовательно, $\angle BMD = 90^{\circ}$, и треугольник $BMD$ является прямоугольным.

4. В прямоугольном треугольнике $BMD$ катеты $BM = 3$ см и $DM = 3$ см. Расстояние между точками $B$ и $D$ — это длина гипотенузы $BD$. По теореме Пифагора:
$BD^2 = BM^2 + DM^2$
$BD^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$
$BD = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.