Номер 15.3, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.3. Верно ли утверждение:

1) если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в плоскости $\alpha$, перпендикулярна плоскости $\beta$;

2) если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то плоскость $\alpha$ перпендикулярна любой прямой, параллельной плоскости $\beta$;

3) если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то эти плоскости параллельны?

1) если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в плоскости $\alpha$, перпендикулярна плоскости $\beta$;

Утверждение неверно. По определению, две плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен $90^\circ$. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, что равносильно перпендикулярности двум пересекающимся прямым в этой плоскости.

Рассмотрим контрпример. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$. В то же время прямая $c$ лежит и в плоскости $\beta$, а значит, она не может быть перпендикулярна плоскости $\beta$. Более того, любая прямая в плоскости $\alpha$, параллельная линии пересечения $c$, будет параллельна плоскости $\beta$, а не перпендикулярна ей.

Перпендикулярны плоскости $\beta$ будут только те прямые, которые лежат в плоскости $\alpha$ и одновременно перпендикулярны линии пересечения $c$. Так как утверждение говорит о любой прямой, оно является ложным.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

2) если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то плоскость $\alpha$ перпендикулярна любой прямой, параллельной плоскости $\beta$;

Утверждение неверно. Перпендикулярность прямой и плоскости означает, что прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим контрпример. Пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость $Oxy$, а плоскость $\beta$ — это плоскость $Oxz$ в декартовой системе координат. Эти плоскости перпендикулярны, их линия пересечения — ось $Ox$.

Теперь возьмем прямую $a$, которая параллельна плоскости $\beta$. Например, прямая, параллельная оси $Ox$ (которая лежит в плоскости $\beta$), но не лежащая в ней, например, прямая, заданная уравнениями $y=1, z=1$. Эта прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$. Однако прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($Oxy$), а параллельна ей. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

3) если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то эти плоскости параллельны?

Утверждение неверно. Две плоскости, перпендикулярные третьей, могут как пересекаться, так и быть параллельными.

Рассмотрим контрпример. Пусть третья плоскость $\gamma$ — это пол в комнате. Две смежные стены, $\alpha$ и $\beta$, обе перпендикулярны полу ($\gamma$). Однако эти стены не параллельны друг другу, они пересекаются.

В координатах: пусть плоскость $\gamma$ — это плоскость $Oxy$. Плоскость $\alpha=Oxz$ (задается уравнением $y=0$) перпендикулярна плоскости $\gamma$. Плоскость $\beta=Oyz$ (задается уравнением $x=0$) также перпендикулярна плоскости $\gamma$. Однако плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны, а пересекаются по оси $Oz$.

Поскольку существует хотя бы один случай, когда такие плоскости не параллельны, общее утверждение является ложным.

Ответ: Нет, утверждение неверно.