Страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.1. Может ли площадь проекции многоугольника быть равной площади самого многоугольника?

16.1. Да, площадь проекции многоугольника может быть равной площади самого многоугольника.

Связь между площадью плоской фигуры (многоугольника) $S$ и площадью ее ортогональной проекции $S_{пр}$ на некоторую плоскость выражается формулой:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — это двугранный угол между плоскостью, в которой лежит многоугольник, и плоскостью проекции. Значение угла $\alpha$ находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$, следовательно, $\cos(\alpha)$ находится в пределах от $1$ до $0$.

Для того чтобы площадь проекции была равна площади самого многоугольника, должно выполняться условие $S_{пр} = S$. Подставим это в нашу формулу (считая, что площадь многоугольника $S$ не равна нулю):

$S = S \cdot \cos(\alpha)$

Разделив обе части на $S$, получаем:

$\cos(\alpha) = 1$

Это равенство истинно только тогда, когда угол $\alpha = 0^\circ$.

Геометрически угол $\alpha = 0^\circ$ означает, что плоскость, содержащая многоугольник, параллельна плоскости проекции. В этом случае проекция является фигурой, конгруэнтной исходному многоугольнику, и их площади, соответственно, равны.

Ответ: Да, может, если плоскость многоугольника параллельна плоскости проекции.

16.2. Может ли площадь проекции многоугольника быть больше, чем площадь самого многоугольника?

Ответ на этот вопрос зависит от толкования термина «многоугольник». Рассмотрим два возможных случая.

1. Многоугольник как плоская фигура

В строгом определении многоугольник — это плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией. Пусть площадь такого многоугольника равна $S$. При ортогональном проецировании этого многоугольника на некоторую плоскость, площадь его проекции $S_{пр}$ определяется по формуле:

$S_{пр} = S \cdot |\cos(\alpha)|$

где $\alpha$ — это угол между плоскостью, в которой лежит многоугольник, и плоскостью проекции.

Поскольку значение косинуса по модулю никогда не превышает 1, то есть $0 \le |\cos(\alpha)| \le 1$, мы всегда имеем:

$S_{пр} \le S$

Равенство достигается только тогда, когда плоскость многоугольника параллельна плоскости проекции ($\alpha=0$ или $\alpha=180^\circ$, $|\cos(\alpha)| = 1$). Во всех остальных случаях площадь проекции будет строго меньше площади самого многоугольника. Таким образом, для плоского многоугольника площадь его проекции не может быть больше его собственной площади.

2. Многоугольник как пространственная поверхность

Иногда под «многоугольником» в задачах могут понимать более сложный объект — поверхность в пространстве, состоящую из нескольких плоских многоугольников (граней), соединенных по сторонам. Примером может служить какая-либо незамкнутая многогранная поверхность, например, гофрированный лист или поверхность крыши.

Пусть такая поверхность $M$ состоит из $n$ плоских многоугольных граней $M_1, M_2, \ldots, M_n$. Площадь всей поверхности $S$ определяется как сумма площадей всех её граней:

$S = \sum_{i=1}^{n} S_i$

где $S_i$ — площадь грани $M_i$.

Пусть $P_i$ — это проекция грани $M_i$ на заданную плоскость. Площадь проекции всей поверхности $S_{пр}$ — это площадь объединения проекций всех её граней:

$S_{пр} = \text{Площадь}(\cup_{i=1}^{n} P_i)$

Известно, что площадь объединения нескольких фигур не может быть больше суммы их площадей (так как фигуры могут перекрываться):

$\text{Площадь}(\cup_{i=1}^{n} P_i) \le \sum_{i=1}^{n} \text{Площадь}(P_i)$

Площадь проекции каждой отдельной грани $P_i$, как мы установили в первом пункте, равна $\text{Площадь}(P_i) = S_i \cdot |\cos(\alpha_i)|$, где $\alpha_i$ — угол между плоскостью грани $M_i$ и плоскостью проекции.

Собирая всё вместе, получаем следующую цепочку неравенств:

$S_{пр} = \text{Площадь}(\cup_{i=1}^{n} P_i) \le \sum_{i=1}^{n} \text{Площадь}(P_i) = \sum_{i=1}^{n} S_i \cdot |\cos(\alpha_i)|$

Так как $|\cos(\alpha_i)| \le 1$ для любого $i$, мы можем продолжить неравенство:

$\sum_{i=1}^{n} S_i \cdot |\cos(\alpha_i)| \le \sum_{i=1}^{n} S_i = S$

Таким образом, мы приходим к выводу, что и в этом случае площадь проекции не может превышать общую площадь поверхности:

$S_{пр} \le S$

Следовательно, при стандартном определении площади и ортогональной проекции, площадь проекции многоугольника (как плоского, так и в виде пространственной поверхности) не может быть больше площади самого многоугольника.

Примечание: Если бы речь шла не об ортогональной, а о центральной (перспективной) проекции, например, о тени от точечного источника света, то площадь проекции могла бы быть сколь угодно большой. Однако в контексте геометрии под «проекцией» по умолчанию понимают ортогональную проекцию.

Ответ: нет, не может.

16.4. Найдите площадь многоугольника, если площадь его проекции на некоторую плоскость равна 24 см$^\text{2}$, а угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции равен 30$^\circ$.

Площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на некоторую плоскость связана с площадью самого многоугольника через косинус угла между их плоскостями.

Пусть $S$ — искомая площадь многоугольника, $S_{пр}$ — площадь его проекции, а $\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Связь между этими величинами выражается формулой:
$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

Согласно условию задачи, мы имеем:
$S_{пр} = 24 \text{ см}^2$
$\alpha = 30°$

Чтобы найти площадь многоугольника $S$, выразим её из формулы:
$S = \frac{S_{пр}}{\cos(\alpha)}$

Теперь подставим известные значения в формулу. Мы знаем, что $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$S = \frac{24}{\cos(30°)} = \frac{24}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Произведем вычисления:
$S = 24 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}}$

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на $\sqrt{3}$ и числитель, и знаменатель:
$S = \frac{48 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}$

Таким образом, площадь многоугольника составляет $16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $16\sqrt{3} \text{ см}^2$.