Номер 15.44, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.44. Точка $D$ равноудалена от вершин равностороннего треугольника $ABC$. На отрезке $BD$ отметили точку $M$ так, что $BM : MD = 3 : 1$. Плоскость, проходящая через прямую $AM$ перпендикулярно плоскости $ABC$, пересекает отрезок $BC$ в точке $E$. Найдите отношение $BE : EC$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, а точка $D$ равноудалена от его вершин, проекция точки $D$ на плоскость $ABC$ совпадает с центром описанной окружности (и центром тяжести) треугольника $ABC$. Обозначим эту точку $O$ и примем ее за начало координат $(0, 0, 0)$. Плоскость треугольника $ABC$ будет плоскостью $xy$.

Пусть сторона треугольника $ABC$ равна $a$. Тогда радиус описанной окружности $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Расположим вершину $B$ на положительной части оси $y$. Тогда координаты вершин треугольника будут:$A = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2\sqrt{3}}, 0\right)$, $B = \left(0, \frac{a}{\sqrt{3}}, 0\right)$, $C = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2\sqrt{3}}, 0\right)$.Точка $D$ лежит на оси $z$, перпендикулярной плоскости $ABC$, поэтому ее координаты $D = (0, 0, h)$ для некоторой высоты $h$.

Точка $M$ делит отрезок $BD$ в отношении $BM : MD = 3 : 1$. Найдем ее координаты по формуле деления отрезка в данном отношении:$\vec{M} = \frac{1 \cdot \vec{B} + 3 \cdot \vec{D}}{1+3} = \frac{1}{4}\vec{B} + \frac{3}{4}\vec{D}$.Вычисляя координаты, получаем:$M = \left(0, \frac{1}{4} \cdot \frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4}h\right) = \left(0, \frac{a}{4\sqrt{3}}, \frac{3h}{4}\right)$.

Плоскость, проходящая через прямую $AM$, перпендикулярна плоскости $ABC$. Линия пересечения этих двух плоскостей — это прямая, которая является проекцией прямой $AM$ на плоскость $ABC$. Эта прямая проходит через точку $A$ (которая уже лежит в плоскости $ABC$) и через проекцию точки $M$ на плоскость $ABC$. Обозначим проекцию точки $M$ как $M'$. Координаты $M'$ равны $M' = \left(0, \frac{a}{4\sqrt{3}}, 0\right)$. Точка $E$ — это точка пересечения прямой $AM'$ и отрезка $BC$. Для ее нахождения решим задачу на плоскости $xy$.

Уравнение прямой $BC$, проходящей через точки $B\left(0, \frac{a}{\sqrt{3}}\right)$ и $C\left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)$, имеет вид $y = -\sqrt{3}x + \frac{a}{\sqrt{3}}$.Уравнение прямой $AM'$, проходящей через точки $A\left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)$ и $M'\left(0, \frac{a}{4\sqrt{3}}\right)$, имеет вид $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{a}{4\sqrt{3}}$.

Чтобы найти координаты точки пересечения $E$, приравняем правые части уравнений:$-\sqrt{3}x + \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{a}{4\sqrt{3}}$.Решая это уравнение относительно $x$, получаем:$\frac{a}{\sqrt{3}} - \frac{a}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \sqrt{3}x \implies \frac{3a}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}x \implies x = \frac{a}{6}$.

Точка $E$ лежит на отрезке $BC$. Отношение $BE : EC$ равно отношению длин проекций этих отрезков на ось $x$. Координаты по оси $x$ для точек $B, E, C$ равны $B_x = 0$, $E_x = \frac{a}{6}$, $C_x = \frac{a}{2}$.Длина проекции отрезка $BE$ на ось $x$ равна $|E_x - B_x| = \frac{a}{6}$.Длина проекции отрезка $EC$ на ось $x$ равна $|C_x - E_x| = \frac{a}{2} - \frac{a}{6} = \frac{a}{3}$.Искомое отношение:$\frac{BE}{EC} = \frac{a/6}{a/3} = \frac{1}{2}$.Следовательно, $BE : EC = 1 : 2$.

Ответ: $1 : 2$.