Номер 15.26, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.26. Плоскости квадрата $ABCD$ и треугольника $BEC$ перпендикулярны. Найдите угол между прямой $DE$ и плоскостью $ABC$, если $AB = 4 \text{ см}$, $BE = CE = 8 \text{ см}$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Обозначим искомый угол как $\alpha$.

Построим проекцию прямой $DE$ на плоскость квадрата $(ABC)$. Точка $D$ уже лежит в этой плоскости, значит, её проекция совпадает с ней самой. Чтобы найти проекцию точки $E$, нужно опустить перпендикуляр из точки $E$ на плоскость $(ABC)$.

Рассмотрим треугольник $BEC$. Он является равнобедренным, так как по условию $BE=CE=8$ см. Проведём в нём высоту $EM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой, поэтому точка $M$ — середина отрезка $BC$.

По условию, плоскости квадрата $(ABC)$ и треугольника $(BEC)$ перпендикулярны. Их линия пересечения — прямая $BC$. Отрезок $EM$ лежит в плоскости $(BEC)$ и перпендикулярен линии пересечения $BC$ ($EM \perp BC$). По свойству перпендикулярных плоскостей, прямая в одной из плоскостей, перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна и другой плоскости. Следовательно, $EM \perp (ABC)$.

Таким образом, $EM$ — перпендикуляр, опущенный из точки $E$ на плоскость $(ABC)$, а точка $M$ — проекция точки $E$ на эту плоскость. Следовательно, отрезок $DM$ является проекцией наклонной $DE$ на плоскость $(ABC)$. Искомый угол $\alpha$ — это угол $\angle EDM$.

Найдём этот угол из прямоугольного треугольника $\triangle EDM$ (угол $\angle EMD = 90^\circ$, так как $EM$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$). Для этого вычислим длины катетов $EM$ и $DM$.

Поскольку $ABCD$ — квадрат со стороной $AB=4$ см, то все его стороны равны 4 см, в частности $BC = 4$ см и $CD = 4$ см. Точка $M$ — середина $BC$, поэтому $MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см. Из прямоугольного треугольника $\triangle EMC$ (угол $\angle EMC = 90^\circ$) по теореме Пифагора находим $EM$: $EM = \sqrt{EC^2 - MC^2} = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{64 - 4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$ см.

Отрезок $DM$ лежит в плоскости квадрата. Найдём его длину из прямоугольного треугольника $\triangle DCM$ (угол $\angle C = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $DM = \sqrt{DC^2 + CM^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle EDM$ можем найти тангенс искомого угла: $\tan(\alpha) = \tan(\angle EDM) = \frac{EM}{DM} = \frac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{5}} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\alpha = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.