Номер 15.23, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.23. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через прямую $AD$ и перпендикулярной плоскости $A_1BC$.

Пусть искомая плоскость сечения называется $\alpha$. По условию задачи, плоскость $\alpha$ должна удовлетворять двум требованиям:

1. Она проходит через прямую $AD$.
2. Она перпендикулярна плоскости $(A_1BC_1)$.

Для решения задачи воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Таким образом, наша задача сводится к нахождению прямой, перпендикулярной плоскости $(A_1BC_1)$, и построению сечения через эту прямую (или параллельно ей) и прямую $AD$.

1. Нахождение прямой, перпендикулярной плоскости $(A_1BC_1)$

В качестве такой прямой рассмотрим главную диагональ куба $B_1D$. Докажем, что прямая $B_1D$ перпендикулярна плоскости $(A_1BC_1)$. Для этого достаточно показать, что $B_1D$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, например, прямым $A_1B$ и $BC_1$.

• Докажем, что $B_1D \perp A_1B$. Рассмотрим проекцию прямой $B_1D$ на плоскость грани $(ABB_1A_1)$. Проекцией точки $D$ на эту плоскость является точка $A$. Проекцией точки $B_1$ является сама точка $B_1$. Следовательно, проекцией прямой $B_1D$ на плоскость $(ABB_1A_1)$ является прямая $B_1A$. В квадрате $ABB_1A_1$ диагонали $B_1A$ и $A_1B$ перпендикулярны. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $B_1D \perp A_1B$.

• Докажем, что $B_1D \perp BC_1$. Аналогично, рассмотрим проекцию прямой $B_1D$ на плоскость грани $(BCC_1B_1)$. Проекцией точки $D$ на эту плоскость является точка $C$. Проекцией точки $B_1$ является сама точка $B_1$. Следовательно, проекцией прямой $B_1D$ на плоскость $(BCC_1B_1)$ является прямая $B_1C$. В квадрате $BCC_1B_1$ диагонали $B_1C$ и $BC_1$ перпендикулярны. По теореме о трех перпендикулярах, $B_1D \perp BC_1$.

Поскольку прямая $B_1D$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A_1B$ и $BC_1$ в плоскости $(A_1BC_1)$, то $B_1D \perp (A_1BC_1)$.

2. Построение искомого сечения

Искомая плоскость $\alpha$ должна проходить через прямую $AD$ и быть перпендикулярной плоскости $(A_1BC_1)$. Из пункта 1 следует, что для выполнения условия перпендикулярности плоскость $\alpha$ должна быть параллельна прямой $B_1D$ (или содержать ее).

Плоскость, проходящая через прямую $AD$ и параллельная скрещивающейся с ней прямой $B_1D$, определяется следующим образом: через любую точку прямой $AD$ (например, $D$) проводим прямую, параллельную $B_1D$. В нашем случае это и есть сама прямая $B_1D$. Таким образом, искомая плоскость $\alpha$ определяется двумя пересекающимися в точке $D$ прямыми: $AD$ и $B_1D$. Эта плоскость также проходит через точки $A$, $D$ и $B_1$.

Теперь построим сечение куба этой плоскостью:

1. По условию, прямая $AD$ лежит в плоскости сечения. Значит, отрезок $AD$ является одной из сторон многоугольника в сечении. Этот отрезок является пересечением плоскости $\alpha$ с нижней гранью $(ABCD)$.

2. Так как верхняя грань $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельна нижней грани $(ABCD)$, плоскость $\alpha$ пересекает ее по прямой, параллельной $AD$. Мы знаем, что точка $B_1$ принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает верхнюю грань по прямой, проходящей через $B_1$ и параллельной $AD$. В кубе ребру $AD$ параллельно ребро $B_1C_1$. Значит, отрезок $B_1C_1$ также является стороной сечения.

3. Мы получили четыре вершины сечения: $A, D, C_1, B_1$. Соединив их последовательно, получаем четырехугольник $ADC_1B_1$. Его сторонами являются отрезки $AD$, $DC_1$, $C_1B_1$ и $B_1A$.

4. Определим вид четырехугольника $ADC_1B_1$. Стороны $AD$ и $B_1C_1$ являются параллельными ребрами куба, поэтому они равны и параллельны. Следовательно, $ADC_1B_1$ — параллелограмм. Ребро $AD$ перпендикулярно грани $(ABB_1A_1)$, а значит, и любой прямой в этой грани, в том числе и диагонали $AB_1$. Таким образом, угол $\angle DAB_1 = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: Искомое сечение — это прямоугольник $ADC_1B_1$.