Страница 4 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 1

Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция

1. Найдите значение выражения:

1) $2(\sqrt{5}-1)^2 \cdot 2^{2\sqrt{5}}$

2) $11^{\sqrt{18}} : 121^{\sqrt{2}}$

3) $((\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12}})^{\sqrt{12}}$

2. Упростите выражение:

1) $(a^{\sqrt{3}} - 4)(a^{\sqrt{3}} + 4) - (a^{\sqrt{3}} - 3)^2$

2) $\frac{a^{2\sqrt{5}} - 49}{a^{2\sqrt{5}} - 7a^{\sqrt{5}}}$

3. Сравните значения выражений:

1) $0,4^{0,5}$ и $0,4^{0,6}$

2) $0,22^{-6}$ и $1$

3) $(\sqrt{5}-1)^{-2,3}$ и $(\sqrt{5}-1)^{-2,5}$

4) $(2-\sqrt{3})^{1,5}$ и $(2+\sqrt{3})^{-1,6}$

4. Найдите область значений функции:

1) $y = -7^x$

2) $y = \left(\frac{1}{7}\right)^x - 2$

3) $y = 7|x|$

4) $y = \left(\frac{1}{9}\right)^{|\cos x|} + 1$

5. Постройте график функции:

1) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x+1}$

2) $y = |2x - 4|$

6. Решите неравенство:

$3|x|+2 > 2\cos x + 7$

1. Найдите значение выражения:

1) $2^{(\sqrt{5}-1)^2} \cdot 2^{2\sqrt{5}}$

Сначала упростим показатель степени первого множителя: $(\sqrt{5}-1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$.

Теперь выражение принимает вид: $2^{6-2\sqrt{5}} \cdot 2^{2\sqrt{5}}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$2^{(6-2\sqrt{5}) + 2\sqrt{5}} = 2^6 = 64$.

Ответ: 64.

2) $11^{\sqrt{18}} : 121^{\sqrt{2}}$

Представим $121$ как $11^2$ и упростим $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Выражение принимает вид: $11^{3\sqrt{2}} : (11^2)^{\sqrt{2}}$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $(11^2)^{\sqrt{2}} = 11^{2\sqrt{2}}$.

Теперь разделим степени: $11^{3\sqrt{2}} : 11^{2\sqrt{2}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$11^{3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}} = 11^{\sqrt{2}}$.

Ответ: $11^{\sqrt{2}}$.

3) $((\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12}})^{\sqrt{12}}$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ дважды:

$((\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12}})^{\sqrt{12}} = (\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12} \cdot \sqrt{12}} = (\sqrt[4]{3})^{12}$.

Представим корень как степень: $\sqrt[4]{3} = 3^{1/4}$.

Тогда выражение равно: $(3^{1/4})^{12} = 3^{\frac{1}{4} \cdot 12} = 3^3 = 27$.

Ответ: 27.

2. Упростите выражение:

1) $(a^{\sqrt{3}} - 4)(a^{\sqrt{3}} + 4) - (a^{\sqrt{3}} - 3)^2$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к первому произведению:

$(a^{\sqrt{3}} - 4)(a^{\sqrt{3}} + 4) = (a^{\sqrt{3}})^2 - 4^2 = a^{2\sqrt{3}} - 16$.

Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ ко второму слагаемому:

$(a^{\sqrt{3}} - 3)^2 = (a^{\sqrt{3}})^2 - 2 \cdot a^{\sqrt{3}} \cdot 3 + 3^2 = a^{2\sqrt{3}} - 6a^{\sqrt{3}} + 9$.

Теперь вычтем второе из первого:

$(a^{2\sqrt{3}} - 16) - (a^{2\sqrt{3}} - 6a^{\sqrt{3}} + 9) = a^{2\sqrt{3}} - 16 - a^{2\sqrt{3}} + 6a^{\sqrt{3}} - 9 = 6a^{\sqrt{3}} - 25$.

Ответ: $6a^{\sqrt{3}} - 25$.

2) $\frac{a^{2\sqrt{5}} - 49}{a^{2\sqrt{5}} - 7a^{\sqrt{5}}}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $a^{2\sqrt{5}} - 49 = (a^{\sqrt{5}})^2 - 7^2 = (a^{\sqrt{5}} - 7)(a^{\sqrt{5}} + 7)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $a^{\sqrt{5}}$ за скобки: $a^{2\sqrt{5}} - 7a^{\sqrt{5}} = a^{\sqrt{5}}(a^{\sqrt{5}} - 7)$.

Получим дробь: $\frac{(a^{\sqrt{5}} - 7)(a^{\sqrt{5}} + 7)}{a^{\sqrt{5}}(a^{\sqrt{5}} - 7)}$.

Сократим общий множитель $(a^{\sqrt{5}} - 7)$, предполагая, что он не равен нулю:

$\frac{a^{\sqrt{5}} + 7}{a^{\sqrt{5}}}$.

Ответ: $\frac{a^{\sqrt{5}} + 7}{a^{\sqrt{5}}}$.

3. Сравните значения выражений:

1) $0,4^{0,5}$ и $0,4^{0,6}$

Рассмотрим показательную функцию $y = a^x$ с основанием $a=0,4$. Так как $0 < 0,4 < 1$, функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку $0,5 < 0,6$, то $0,4^{0,5} > 0,4^{0,6}$.

Ответ: $0,4^{0,5} > 0,4^{0,6}$.

2) $0,22^{-6}$ и $1$

Представим 1 как $0,22^0$. Нужно сравнить $0,22^{-6}$ и $0,22^0$. Основание $a=0,22$ меньше 1, значит функция $y=0,22^x$ убывающая. Так как $-6 < 0$, то $0,22^{-6} > 0,22^0$, следовательно $0,22^{-6} > 1$.

Ответ: $0,22^{-6} > 1$.

3) $(\sqrt{5}-1)^{-2,3}$ и $(\sqrt{5}-1)^{-2,5}$

Оценим основание $a = \sqrt{5}-1$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $1 < \sqrt{5}-1 < 2$. Основание $a > 1$, следовательно, показательная функция $y = a^x$ является возрастающей. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Сравним показатели: $-2,3 > -2,5$. Значит, $(\sqrt{5}-1)^{-2,3} > (\sqrt{5}-1)^{-2,5}$.

Ответ: $(\sqrt{5}-1)^{-2,3} > (\sqrt{5}-1)^{-2,5}$.

4) $(2-\sqrt{3})^{1,5}$ и $(2+\sqrt{3})^{-1,6}$

Заметим, что $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1$. Отсюда следует, что $2+\sqrt{3} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = (2-\sqrt{3})^{-1}$.

Преобразуем второе выражение: $(2+\sqrt{3})^{-1,6} = ((2-\sqrt{3})^{-1})^{-1,6} = (2-\sqrt{3})^{1,6}$.

Теперь задача сводится к сравнению $(2-\sqrt{3})^{1,5}$ и $(2-\sqrt{3})^{1,6}$. Основание $a = 2-\sqrt{3}$. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $0 < 2-\sqrt{3} < 1$. Основание $a$ находится в интервале $(0; 1)$, значит функция $y=a^x$ убывающая. Сравнивая показатели $1,5 < 1,6$, получаем $(2-\sqrt{3})^{1,5} > (2-\sqrt{3})^{1,6}$.

Ответ: $(2-\sqrt{3})^{1,5} > (2+\sqrt{3})^{-1,6}$.

4. Найдите область значений функции:

1) $y = -7^x$

Область значений функции $f(x) = 7^x$ есть интервал $(0; +\infty)$. Функция $y = -f(x)$ является отражением графика $f(x)$ относительно оси Ox, поэтому её область значений - интервал $(-\infty; 0)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$.

2) $y = (\frac{1}{7})^x - 2$

Область значений показательной функции $f(x) = (\frac{1}{7})^x$ есть интервал $(0; +\infty)$. График функции $y = f(x) - 2$ получен сдвигом графика $f(x)$ на 2 единицы вниз. Следовательно, область значений смещается на 2 вниз и становится $(-2; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (-2; +\infty)$.

3) $y = 7^{|x|}$

Область значений выражения $|x|$ есть $[0; +\infty)$. Так как основание $7 > 1$, функция $f(t) = 7^t$ является возрастающей. Наименьшее значение показателя степени равно 0, поэтому наименьшее значение функции будет $y_{min} = 7^0 = 1$. При увеличении $|x|$ значение функции неограниченно возрастает. Таким образом, область значений функции - $[1; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

4) $y = (\frac{1}{9})^{|\cos x|} + 1$

Область значений функции $\cos x$ есть $[-1; 1]$, а функции $|\cos x|$ - отрезок $[0; 1]$. Пусть $t = |\cos x|$, тогда $0 \le t \le 1$. Рассмотрим функцию $f(t) = (\frac{1}{9})^t$. Так как основание $\frac{1}{9} < 1$, эта функция убывающая. Следовательно, на отрезке $[0; 1]$ она принимает значения от $f(1)$ до $f(0)$.

$f(1) = (\frac{1}{9})^1 = \frac{1}{9}$ (минимальное значение).

$f(0) = (\frac{1}{9})^0 = 1$ (максимальное значение).

Таким образом, область значений функции $(\frac{1}{9})^{|\cos x|}$ есть отрезок $[\frac{1}{9}; 1]$.

Функция $y$ получена добавлением 1. Значит, её область значений - $[\frac{1}{9}+1; 1+1]$, то есть $[\frac{10}{9}; 2]$.

Ответ: $E(y) = [\frac{10}{9}; 2]$.

5. Постройте график функции:

1) $y = (\frac{1}{3})^{x+1}$

График этой функции получается из графика показательной функции $y = (\frac{1}{3})^x$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

1. Строим график $y = (\frac{1}{3})^x$. Это убывающая кривая, проходящая через точки $(-1, 3)$, $(0, 1)$, $(1, \frac{1}{3})$. Горизонтальная асимптота - $y=0$.

2. Сдвигаем этот график на 1 влево. Контрольные точки переходят в $(-2, 3)$, $(-1, 1)$, $(0, \frac{1}{3})$. Асимптота $y=0$ сохраняется.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3})^x$, сдвинутый на 1 единицу влево.

2) $y = |2^x - 4|$

Построение графика выполняется в несколько шагов:

1. Строим график показательной функции $y = 2^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$. Асимптота $y=0$ при $x \to -\infty$.

2. Строим график $y = 2^x - 4$, сдвигая предыдущий график на 4 единицы вниз. Контрольные точки переходят в $(0, -3)$, $(1, -2)$, $(2, 0)$. Асимптота становится $y=-4$. График пересекает ось Ox в точке $(2, 0)$.

3. Строим график $y = |2^x - 4|$. Часть графика $y = 2^x - 4$, которая находится выше или на оси Ox (при $x \ge 2$), остается без изменений. Часть графика, которая находится ниже оси Ox (при $x < 2$), симметрично отражается относительно оси Ox. Точка $(0, -3)$ переходит в $(0, 3)$, асимптота $y=-4$ переходит в асимптоту $y=4$ (при $x \to -\infty$).

Ответ: График функции $y=2^x-4$, у которого часть, лежащая под осью Ox, отражена симметрично относительно этой оси.

6. Решите неравенство $3^{|x|+2} > 2\cos x + 7$

Оценим левую и правую части неравенства.

Левая часть: $f(x) = 3^{|x|+2}$. Так как $|x| \ge 0$, то $|x|+2 \ge 2$. Поскольку основание степени $3 > 1$, функция $y=3^t$ возрастающая. Следовательно, наименьшее значение левой части достигается при $|x|=0$, то есть при $x=0$, и равно $3^{0+2} = 3^2 = 9$. Таким образом, $3^{|x|+2} \ge 9$ для всех $x$. Причем равенство достигается только при $x=0$.

Правая часть: $g(x) = 2\cos x + 7$. Область значений функции $\cos x$ есть $[-1; 1]$. Следовательно, $-2 \le 2\cos x \le 2$, и $5 \le 2\cos x + 7 \le 9$. Таким образом, $2\cos x + 7 \le 9$ для всех $x$. Равенство достигается, когда $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сравним левую и правую части: $f(x) \ge 9$ и $g(x) \le 9$.

Неравенство $f(x) > g(x)$ будет выполняться всегда, кроме случая, когда возможно равенство $f(x) = g(x) = 9$.

Равенство $f(x) = 9$ достигается только при $x=0$.

Равенство $g(x) = 9$ достигается при $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Оба равенства выполняются одновременно только при $x=0$. В этой точке неравенство принимает вид $9 > 9$, что является ложным.

Во всех остальных случаях ($x \ne 0$), $f(x) = 3^{|x|+2} > 9$, а $g(x) = 2\cos x + 7 \le 9$. Следовательно, неравенство $f(x) > g(x)$ всегда истинно.

Таким образом, решение неравенства - это все действительные числа, кроме $x=0$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Самостоятельная работа № 2

Показательные уравнения

1. Решите уравнение:

1) $\left(\frac{3}{2}\right)^{1-2x} = \left(\frac{8}{27}\right)^{x+3}$;

2) $3^{x+2} + 4 \cdot 3^{x-1} = 279$;

3) $2^{2x} - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$;

4) $3^{\sin^2x} + 3^{\cos^2x} = 4$;

5) $6 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x - 4^x = 0$;

6) $2^x = 3 - x$.

2. При каких значениях параметра $a$ уравнение $4^x - (a+3) \cdot 2^x + 4a - 4 = 0$ имеет один действительный корень?

1) $(\frac{3}{2})^{1-2x} = (\frac{8}{27})^{x+3}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$. Также, $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$. Следовательно, $\frac{8}{27} = ((\frac{3}{2})^{-1})^3 = (\frac{3}{2})^{-3}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(\frac{3}{2})^{1-2x} = ((\frac{3}{2})^{-3})^{x+3}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(\frac{3}{2})^{1-2x} = (\frac{3}{2})^{-3(x+3)}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$1 - 2x = -3(x+3)$

$1 - 2x = -3x - 9$

$3x - 2x = -9 - 1$

$x = -10$

Ответ: $x = -10$.

2) $3^{x+2} + 4 \cdot 3^{x-1} = 279$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$:

$3^x \cdot 3^2 + 4 \cdot \frac{3^x}{3^1} = 279$

$9 \cdot 3^x + \frac{4}{3} \cdot 3^x = 279$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (9 + \frac{4}{3}) = 279$

$3^x (\frac{27+4}{3}) = 279$

$3^x \cdot \frac{31}{3} = 279$

$3^x = \frac{279 \cdot 3}{31}$

Поскольку $279 = 31 \cdot 9$, получаем:

$3^x = 9 \cdot 3$

$3^x = 27$

$3^x = 3^3$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

3) $2^{2x} - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 10t + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение равно 16. Корни легко находятся: $t_1 = 2$ и $t_2 = 8$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$. Вернемся к исходной переменной $x$:

1. $2^x = t_1 \implies 2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

2. $2^x = t_2 \implies 2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 3$.

4) $3^{\sin^2 x} + 3^{\cos^2 x} = 4$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим в уравнение:

$3^{\sin^2 x} + 3^{1 - \sin^2 x} = 4$

$3^{\sin^2 x} + \frac{3}{3^{\sin^2 x}} = 4$

Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^{\sin^2 x}$. Так как $0 \le \sin^2 x \le 1$, то $3^0 \le 3^{\sin^2 x} \le 3^1$, то есть $1 \le t \le 3$.

Уравнение в новых переменных:

$t + \frac{3}{t} = 4$

Умножим обе части на $t$ (зная, что $t \neq 0$):

$t^2 + 3 = 4t$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $1 \le t \le 3$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1. $3^{\sin^2 x} = 1 \implies 3^{\sin^2 x} = 3^0 \implies \sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $3^{\sin^2 x} = 3 \implies 3^{\sin^2 x} = 3^1 \implies \sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну: $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

5) $6 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x - 4^x = 0$

Это однородное показательное уравнение. Представим $25^x = (5^x)^2$, $10^x = 5^x \cdot 2^x$, $4^x = (2^x)^2$.

$6 \cdot (5^x)^2 - 5 \cdot 5^x \cdot 2^x - (2^x)^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на $4^x = (2^x)^2$, которое не равно нулю ни при каких $x$:

$6 \cdot \frac{(5^x)^2}{(2^x)^2} - 5 \cdot \frac{5^x \cdot 2^x}{(2^x)^2} - \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} = 0$

$6 \cdot (\frac{5}{2})^{2x} - 5 \cdot (\frac{5}{2})^x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = (\frac{5}{2})^x$, где $t > 0$:

$6t^2 - 5t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$t_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{12}$

$t_1 = \frac{5+7}{12} = 1$

$t_2 = \frac{5-7}{12} = -\frac{1}{6}$

Корень $t_2 = -\frac{1}{6}$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Остается один корень $t_1 = 1$.

Вернемся к замене:

$(\frac{5}{2})^x = 1 \implies (\frac{5}{2})^x = (\frac{5}{2})^0 \implies x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

6) $2^x = 3 - x$

Рассмотрим две функции: $f(x) = 2^x$ и $g(x) = 3-x$.

Функция $f(x) = 2^x$ является показательной, она строго возрастает на всей области определения.

Функция $g(x) = 3-x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом, она строго убывает на всей области определения.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.

Подберем корень. Проверим целые значения $x$.

При $x=1$:

Левая часть: $2^1 = 2$.

Правая часть: $3 - 1 = 2$.

Левая часть равна правой, значит $x=1$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, то это и есть решение.

Ответ: $x=1$.

2. Исходное уравнение: $4^x - (a+3) \cdot 2^x + 4a - 4 = 0$.

Это уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену $t = 2^x$. Так как $x$ - действительное число, то $t$ может быть любым положительным числом ($t > 0$). Каждому положительному значению $t$ соответствует единственное значение $x$ (а именно $x = \log_2 t$).

Таким образом, задача сводится к нахождению таких значений параметра $a$, при которых квадратное уравнение

$t^2 - (a+3)t + 4a - 4 = 0$

имеет ровно один положительный корень.

Найдем корни этого уравнения относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = a+3$, а их произведение $t_1 t_2 = 4a - 4 = 4(a-1)$. Легко проверить, что числа $4$ и $a-1$ удовлетворяют этим соотношениям, так как их сумма равна $4 + (a-1) = a+3$, а произведение равно $4(a-1) = 4a-4$.

Следовательно, корни уравнения для $t$: $t_1 = 4$ и $t_2 = a-1$.

Один из корней, $t_1=4$, всегда положителен. Это означает, что одно решение $x=2$ (из $2^x=4$) у исходного уравнения есть всегда.

Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, необходимо, чтобы второй корень для $t$, $t_2 = a-1$, либо не давал новых решений для $x$, либо совпадал с первым. Это возможно в двух случаях:

Случай 1: Второй корень $t_2$ не является положительным, то есть $t_2 \le 0$. В этом случае он не даст действительного решения для $x$.

$a-1 \le 0 \implies a \le 1$.

При таких $a$ единственным положительным корнем для $t$ будет $t_1 = 4$, что дает единственное решение $x=2$.

Случай 2: Второй корень $t_2$ совпадает с первым корнем $t_1$.

$t_2 = t_1 \implies a-1 = 4 \implies a = 5$.

При $a=5$ уравнение для $t$ имеет один корень $t=4$ (кратности 2), что также дает единственное решение $x=2$.

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет один действительный корень при $a \le 1$ или при $a=5$.

Ответ: $a \in (-\infty, 1] \cup \{5\}$.