Страница 6 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Логарифмическая функция и её свойства

1. Сравните:

1) $\log_{\frac{1}{3}} 6$ и $\log_{\frac{1}{3}} 5$;

2) $\log_3 12$ и $2$;

3) $\log_{12} 13$ и $\log_{13} 12$;

4) $\log_{0,2} 0,3$ и $\log_{0,3} 0,2$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_{0,2}(2x - 7)$;

2) $y = \log_{x - 1}(5 - x)$;

3) $y = \lg(12 + x - x^2) + \frac{1}{\lg(2 - x)}$.

3. Постройте график функции:

1) $y = \log_3(x - 2)$;

2) $y = \log_3(-x) + 1$;

3) $y = \left| \log_{\frac{1}{3}} x \right|$.

4. Найдите наибольшее значение функции:

$y = \log_{0,5}(x^2 - 2x + 5)$.

1. Сравните:

1) $\log_{\frac{1}{3}} 6$ и $\log_{\frac{1}{3}} 5$

Функция $y = \log_a x$ при $0 < a < 1$ является убывающей. В данном случае основание $a = \frac{1}{3}$, что удовлетворяет этому условию. Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Так как $6 > 5$, то $\log_{\frac{1}{3}} 6 < \log_{\frac{1}{3}} 5$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} 6 < \log_{\frac{1}{3}} 5$.

2) $\log_3 12$ и $2$

Представим число 2 в виде логарифма с основанием 3: $2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$. Теперь сравним $\log_3 12$ и $\log_3 9$. Функция $y = \log_a x$ при $a > 1$ является возрастающей. В данном случае основание $a = 3 > 1$. Для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Так как $12 > 9$, то $\log_3 12 > \log_3 9$, следовательно, $\log_3 12 > 2$.

Ответ: $\log_3 12 > 2$.

3) $\log_{12} 13$ и $\log_{13} 12$

Сравним каждое из выражений с 1.
Для логарифма $\log_{12} 13$: основание $12 > 1$ и аргумент $13 > 12$, следовательно $\log_{12} 13 > \log_{12} 12 = 1$.
Для логарифма $\log_{13} 12$: основание $13 > 1$ и аргумент $12 < 13$, следовательно $\log_{13} 12 < \log_{13} 13 = 1$.
Так как $\log_{12} 13 > 1$ и $\log_{13} 12 < 1$, то $\log_{12} 13 > \log_{13} 12$.

Ответ: $\log_{12} 13 > \log_{13} 12$.

4) $\log_{0,2} 0,3$ и $\log_{0,3} 0,2$

Сравним каждое из выражений с 1.
Для логарифма $\log_{0,2} 0,3$: основание $0,2 < 1$ и аргумент $0,3 > 0,2$, следовательно $\log_{0,2} 0,3 < \log_{0,2} 0,2 = 1$.
Для логарифма $\log_{0,3} 0,2$: основание $0,3 < 1$ и аргумент $0,2 < 0,3$, следовательно $\log_{0,3} 0,2 > \log_{0,3} 0,3 = 1$.
Так как $\log_{0,2} 0,3 < 1$ и $\log_{0,3} 0,2 > 1$, то $\log_{0,2} 0,3 < \log_{0,3} 0,2$.

Ответ: $\log_{0,2} 0,3 < \log_{0,3} 0,2$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_{0,2}(2x - 7)$

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$2x - 7 > 0$
$2x > 7$
$x > 3,5$
Область определения: $(3,5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3,5; +\infty)$.

2) $y = \log_{x-1}(5 - x)$

Область определения логарифмической функции задается системой условий:
1. Аргумент больше нуля: $5 - x > 0 \implies x < 5$.
2. Основание больше нуля: $x - 1 > 0 \implies x > 1$.
3. Основание не равно единице: $x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2$.
Объединяя условия, получаем $1 < x < 5$ и $x \neq 2$.

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (2; 5)$.

3) $y = \lg(12 + x - x^2) + \frac{1}{\lg(2 - x)}$

Область определения функции определяется системой условий:
1. Аргумент первого логарифма больше нуля: $12 + x - x^2 > 0 \implies x^2 - x - 12 < 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ равны $x_1 = -3, x_2 = 4$. Следовательно, $x \in (-3; 4)$.
2. Аргумент второго логарифма больше нуля: $2 - x > 0 \implies x < 2$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\lg(2 - x) \neq 0 \implies 2 - x \neq 1 \implies x \neq 1$.
Пересечение всех условий: $x \in (-3; 4)$, $x < 2$ и $x \neq 1$, что дает $x \in (-3; 1) \cup (1; 2)$.

Ответ: $x \in (-3; 1) \cup (1; 2)$.

3. Постройте график функции:

1) $y = \log_3(x - 2)$

График этой функции получается из графика $y = \log_3 x$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси Ox.
- Вертикальная асимптота: $x = 2$.
- Область определения: $x > 2$.
- Ключевые точки:
- $x=3, y=\log_3(3-2) = \log_3 1 = 0$. Точка (3, 0).
- $x=5, y=\log_3(5-2) = \log_3 3 = 1$. Точка (5, 1).
График представляет собой возрастающую кривую, которая проходит через точку $(3, 0)$ и асимптотически приближается к прямой $x=2$.

2) $y = \log_3(-x) + 1$

График получается из $y = \log_3 x$ преобразованиями:
1. Отражение относительно оси Oy, чтобы получить $y = \log_3(-x)$.
2. Сдвиг на 1 единицу вверх по оси Oy.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Область определения: $-x > 0 \implies x < 0$.
- Ключевые точки:
- $x=-1, y=\log_3(-(-1)) + 1 = \log_3 1 + 1 = 1$. Точка (-1, 1).
- $x=-3, y=\log_3(-(-3)) + 1 = \log_3 3 + 1 = 2$. Точка (-3, 2).
- Пересечение с осью Ox ($y=0$): $\log_3(-x) = -1 \implies -x=3^{-1} \implies x=-1/3$. Точка (-1/3, 0).
График представляет собой убывающую кривую в левой полуплоскости, которая проходит через точку $(-1, 1)$ и асимптотически приближается к оси Oy.

3) $y = \left|\log_{\frac{1}{3}} x\right|$

Сначала строим график функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Это убывающая логарифмическая кривая, проходящая через точку $(1,0)$. Затем часть графика, находящуюся ниже оси Ox (при $x > 1$), симметрично отражаем относительно оси Ox.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Область определения: $x > 0$.
- График состоит из двух частей:
- $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ при $0 < x \le 1$.
- $y = -\log_{\frac{1}{3}} x = \log_3 x$ при $x > 1$.
- Ключевые точки: $(1/3, 1)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$.
График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(1,0)$.

4. Найдите наибольшее значение функции

$y = \log_{0,5}(x^2 - 2x + 5)$

Логарифмическая функция $y = \log_{0,5} t$ является убывающей, так как ее основание $0,5 < 1$. Следовательно, своего наибольшего значения она достигает при наименьшем значении аргумента $t(x) = x^2 - 2x + 5$.
Аргумент $t(x)$ — это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение находится в вершине.
Координата вершины по оси абсцисс: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
Наименьшее значение аргумента: $t_{min} = t(1) = 1^2 - 2(1) + 5 = 4$.
Теперь находим наибольшее значение функции $y$:
$y_{max} = \log_{0,5}(t_{min}) = \log_{0,5} 4 = \log_{1/2} 4 = \log_{2^{-1}} 2^2 = \frac{2}{-1} \log_2 2 = -2$.

Ответ: -2.

Самостоятельная работа № 6

Логарифмические уравнения

Решите уравнение:

1) $ \log_7 \log_3 \log_2 x = 0; $

2) $ \log_8 (x^2 - 7x + 4) = \log_8 (x - 3); $

3) $ \log_3 (x + 1) + \log_3 (x + 3) = 1; $

4) $ 0,5 \log_x 49 - 3 \log_7 x = 2; $

5) $ x^{\lg x - 5} = 0,0001; $

6) $ x^{\lg 3} + 3^{\lg x} = 54. $

1) $log_7log_3log_2x = 0$

Вначале определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть строго больше нуля:
1. $x > 0$
2. $log_2x > 0 \implies log_2x > log_21 \implies x > 1$
3. $log_3(log_2x) > 0 \implies log_3(log_2x) > log_31 \implies log_2x > 1 \implies log_2x > log_22 \implies x > 2$
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.

Теперь решим уравнение, последовательно избавляясь от логарифмов, используя определение логарифма ($log_ab = c \iff a^c = b$):
$log_7(log_3(log_2x)) = 0$
$log_3(log_2x) = 7^0$
$log_3(log_2x) = 1$
$log_2x = 3^1$
$log_2x = 3$
$x = 2^3$
$x = 8$

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $8 > 2$. Корень подходит.
Ответ: $8$

2) $log_8(x^2 - 7x + 4) = log_8(x - 3)$

ОДЗ: Аргументы логарифмов должны быть положительны.
$\begin{cases} x^2 - 7x + 4 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства следует $x > 3$. Проверим найденные корни на соответствие этому условию.

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$x^2 - 7x + 4 = x - 3$
$x^2 - 8x + 7 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Проверка корней по ОДЗ:
Для $x_1 = 1$: $1 - 3 = -2 < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > 3$, поэтому он посторонний.
Для $x_2 = 7$: $7 - 3 = 4 > 0$. Проверим второе условие: $7^2 - 7 \cdot 7 + 4 = 49 - 49 + 4 = 4 > 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $7$

3) $log_3(x + 1) + log_3(x + 3) = 1$

ОДЗ:
$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > -3 \end{cases} \implies x > -1$

Используем свойство суммы логарифмов: $log_a b + log_a c = log_a (bc)$.
$log_3((x + 1)(x + 3)) = 1$
По определению логарифма:
$(x + 1)(x + 3) = 3^1$
$x^2 + 3x + x + 3 = 3$
$x^2 + 4x = 0$
$x(x + 4) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -4$.

Проверка корней по ОДЗ ($x > -1$):
$x_1 = 0$ удовлетворяет условию ($0 > -1$).
$x_2 = -4$ не удовлетворяет условию ($-4 \ngtr -1$), это посторонний корень.
Ответ: $0$

4) $0,5log_x49 - 3log_7x = 2$

ОДЗ: основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице, а аргумент — больше нуля.
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Приведем логарифмы к одному основанию, например, к 7. Используем формулу перехода к новому основанию $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$ и свойство $log_a b^n = n \cdot log_a b$.
$0,5log_x(7^2) - 3log_7x = 2$
$0,5 \cdot 2 \cdot log_x7 - 3log_7x = 2$
$log_x7 - 3log_7x = 2$
$\frac{1}{log_7x} - 3log_7x = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_7x$.
$\frac{1}{t} - 3t = 2$
Умножим обе части на $t$ (при этом $t \neq 0$, что соответствует $x \neq 1$):
$1 - 3t^2 = 2t$
$3t^2 + 2t - 1 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$t_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$t_2 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Возвращаемся к исходной переменной:
1) $log_7x = \frac{1}{3} \implies x = 7^{1/3} = \sqrt[3]{7}$
2) $log_7x = -1 \implies x = 7^{-1} = \frac{1}{7}$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\sqrt[3]{7}; \frac{1}{7}$

5) $x^{lgx - 5} = 0,0001$

ОДЗ: $x > 0$, так как $x$ является и основанием степени, и аргументом логарифма.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
$lg(x^{lgx - 5}) = lg(0,0001)$
$lg(x^{lgx - 5}) = lg(10^{-4})$
Используя свойство логарифма степени $log_a b^n = n \cdot log_a b$:
$(lgx - 5) \cdot lgx = -4$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = lgx$.
$(t - 5)t = -4$
$t^2 - 5t + 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

Возвращаемся к исходной переменной:
1) $lgx = 1 \implies x = 10^1 = 10$
2) $lgx = 4 \implies x = 10^4 = 10000$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $10; 10000$

6) $x^{lg3} + 3^{lgx} = 54$

ОДЗ: $x > 0$, так как $x$ является аргументом логарифма.

Используем основное логарифмическое тождество в виде $a^{log_c b} = b^{log_c a}$.
В нашем случае $x^{lg3} = 3^{lgx}$.
Тогда уравнение принимает вид:
$3^{lgx} + 3^{lgx} = 54$
$2 \cdot 3^{lgx} = 54$
$3^{lgx} = 27$
$3^{lgx} = 3^3$
Приравниваем показатели степени:
$lgx = 3$
$x = 10^3 = 1000$

Проверяем корень по ОДЗ: $1000 > 0$. Корень подходит.
Ответ: $1000$

Самостоятельная работа № 7

Логарифмические неравенства

Решите неравенство:

1) $log_5(4x - 3) > log_5(3 - 2x);$

2) $log_{\frac{1}{6}}(x + 4) > log_{\frac{1}{6}}(x^2 + 2x - 2);$

3) $log_{0.4}(x - 1) + log_{0.4}x \ge log_{0.4}(x + 3);$

4) $log^2_{0.4}(-x) - 0.25log_{0.4}x^4 \le 2;$

5) $log_x(x^2 - 7x + 12) < 1.$

1) $log_5(4x - 3) > log_5(3 - 2x)$

Решение этого неравенства равносильно решению системы:
$ \begin{cases} 4x - 3 > 0 \\ 3 - 2x > 0 \\ 4x - 3 > 3 - 2x \end{cases} $
Так как основание логарифма $5 > 1$, знак неравенства сохраняется.
1. $4x - 3 > 0 \implies 4x > 3 \implies x > \frac{3}{4}$
2. $3 - 2x > 0 \implies 3 > 2x \implies x < \frac{3}{2}$
3. $4x - 3 > 3 - 2x \implies 6x > 6 \implies x > 1$
Объединяя все условия, получаем:
$ \begin{cases} x > \frac{3}{4} \\ x < \frac{3}{2} \\ x > 1 \end{cases} $
Пересечением этих интервалов является $1 < x < \frac{3}{2}$.
Ответ: $x \in (1; \frac{3}{2})$.

2) $log_{\frac{1}{6}}(x + 4) > log_{\frac{1}{6}}(x^2 + 2x - 2)$

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{6} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный. Неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} x + 4 > 0 \\ x^2 + 2x - 2 > 0 \\ x + 4 < x^2 + 2x - 2 \end{cases} $
1. $x + 4 > 0 \implies x > -4$.
2. $x^2 + 2x - 2 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 2 = 0$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1-\sqrt{3}) \cup (-1+\sqrt{3}; +\infty)$.
3. $x + 4 < x^2 + 2x - 2 \implies x^2 + x - 6 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.
Теперь найдем пересечение всех трех решений.
- Из (1) и (2) получаем ОДЗ: $x \in (-4; -1-\sqrt{3}) \cup (-1+\sqrt{3}; +\infty)$.
- Учтем решение (3):
- Пересечение $(-4; -1-\sqrt{3})$ и $(-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$. Так как $-1-\sqrt{3} \approx -2.73$, пересечением будет интервал $(-4; -3)$.
- Пересечение $(-1+\sqrt{3}; +\infty)$ и $(-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$. Так как $-1+\sqrt{3} \approx 0.73$, пересечением будет интервал $(2; +\infty)$.
Общее решение: $x \in (-4; -3) \cup (2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-4; -3) \cup (2; +\infty)$.

3) $log_{0,4}(x - 1) + log_{0,4}x \ge log_{0,4}(x + 3)$

Используем свойство суммы логарифмов: $log_a b + log_a c = log_a (bc)$.
$log_{0,4}((x - 1)x) \ge log_{0,4}(x + 3)$
Так как основание $0 < 0,4 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный. Система:
$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x > 0 \\ x + 3 > 0 \\ (x - 1)x \le x + 3 \end{cases} $
1. Из первых трех неравенств (ОДЗ) получаем $x > 1$.
2. Решим четвертое неравенство:
$x^2 - x \le x + 3 \implies x^2 - 2x - 3 \le 0$.
Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.
Решение неравенства: $x \in [-1; 3]$.
3. Найдем пересечение ОДЗ $(1; +\infty)$ и решения $[-1; 3]$.
Получаем интервал $(1; 3]$.
Ответ: $x \in (1; 3]$.

4) $log_{0,4}^2(-x) - 0,25log_{0,4}x^4 \le 2$

ОДЗ: $-x > 0 \implies x < 0$.
Упростим выражение: $log_{0,4}x^4 = 4log_{0,4}|x|$. Так как по ОДЗ $x < 0$, то $|x| = -x$.
Следовательно, $log_{0,4}x^4 = 4log_{0,4}(-x)$.
Неравенство принимает вид:
$log_{0,4}^2(-x) - 0,25 \cdot 4log_{0,4}(-x) \le 2$
$log_{0,4}^2(-x) - log_{0,4}(-x) - 2 \le 0$
Сделаем замену $t = log_{0,4}(-x)$:
$t^2 - t - 2 \le 0$
Корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$: $t_1 = -1$, $t_2 = 2$.
Решение для $t$: $-1 \le t \le 2$.
Возвращаемся к замене:
$-1 \le log_{0,4}(-x) \le 2$
Представим $-1$ и $2$ в виде логарифмов по основанию 0,4:
$log_{0,4}(0,4^{-1}) \le log_{0,4}(-x) \le log_{0,4}(0,4^2)$
$log_{0,4}(2,5) \le log_{0,4}(-x) \le log_{0,4}(0,16)$
Так как основание $0 < 0,4 < 1$, знаки неравенства меняются:
$2,5 \ge -x \ge 0,16$
$0,16 \le -x \le 2,5$
Умножим на -1, снова меняя знаки неравенства:
$-0,16 \ge x \ge -2,5$, или $-2,5 \le x \le -0,16$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).
Ответ: $x \in [-2,5; -0,16]$.

5) $log_x(x^2 - 7x + 12) < 1$

Поскольку основание логарифма $x$ является переменной, рассмотрим два случая.
Сначала найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ x \ne 1 \\ x^2 - 7x + 12 > 0 \end{cases} $
Решим $x^2 - 7x + 12 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ равны 3 и 4.
Тогда $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$.
С учетом $x>0$ и $x \ne 1$, ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; 3) \cup (4; +\infty)$.
Представим $1$ как $log_x x$. Неравенство: $log_x(x^2 - 7x + 12) < log_x x$.
Случай 1: $0 < x < 1$.
Знак неравенства меняется:
$x^2 - 7x + 12 > x$
$x^2 - 8x + 12 > 0$
Корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$ равны 2 и 6.
Решение: $x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$.
Найдем пересечение этого решения с условием случая $(0; 1)$:
$((-\infty; 2) \cup (6; +\infty)) \cap (0; 1) = (0; 1)$.
Случай 2: $x > 1$.
Знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 7x + 12 < x$
$x^2 - 8x + 12 < 0$
Решение: $x \in (2; 6)$.
Найдем пересечение этого решения с ОДЗ для данного случая, то есть с $(1; 3) \cup (4; +\infty)$:
$(2; 6) \cap ((1; 3) \cup (4; +\infty)) = (2; 3) \cup (4; 6)$.
Объединим решения из обоих случаев:
$(0; 1) \cup (2; 3) \cup (4; 6)$.
Ответ: $x \in (0; 1) \cup (2; 3) \cup (4; 6)$.