Страница 10 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Комплексная плоскость.

Тригонометрическая форма комплексного числа

1. Запишите в тригонометрической форме комплексное число:

1) $5$;

2) $-4i$;

3) $2\sqrt{3} - 2i$;

4) $\frac{1+3i}{1-i}$.

2. Изобразите на комплексной плоскости все числа $z$, удовлетворяющие условию:

1) $\text{Re } z = 2$;

2) $z\bar{z} \ge 4$;

3) $|z - i| < 3$;

4) $|z - 2| = |z - 1 + i|$.

1)Дано комплексное число $z = 5$. В алгебраической форме $z = x + yi$, где $x = 5$ и $y = 0$. Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$. Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Модуль: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$.
Аргумент: $\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{5}{5} = 1$, $\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{0}{5} = 0$. Из этих соотношений следует, что $\varphi = 0$.
Таким образом, тригонометрическая форма числа $z=5$ есть $5(\cos 0 + i \sin 0)$.
Ответ: $5(\cos 0 + i \sin 0)$.

2)Дано комплексное число $z = -4i$. В алгебраической форме $z = x + yi$, где $x = 0$ и $y = -4$. Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Модуль: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4$.
Аргумент: $\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{0}{4} = 0$, $\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{-4}{4} = -1$. Число находится на отрицательной части мнимой оси, поэтому аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{2}$.
Тригонометрическая форма: $z = 4(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.
Ответ: $4(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

3)Дано комплексное число $z = 2\sqrt{3} - 2i$. Здесь $x = 2\sqrt{3}$ и $y = -2$. Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Модуль: $r = |z| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.
Аргумент: $\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Число находится в четвертой четверти комплексной плоскости. Угол, для которого косинус положителен, а синус отрицателен, равен $\varphi = -\frac{\pi}{6}$.
Тригонометрическая форма: $z = 4(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.
Ответ: $4(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.

4)Сначала приведем число к алгебраической форме $z = x + yi$, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю.
$z = \frac{1 + 3i}{1 - i} = \frac{(1 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + i + 3i + 3i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 4i - 3}{1 - (-1)} = \frac{-2 + 4i}{2} = -1 + 2i$.
Теперь для $z = -1 + 2i$ найдем модуль и аргумент. $x = -1$, $y = 2$.
Модуль: $r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
Аргумент: $\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{-1}{\sqrt{5}}$, $\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Число находится во второй четверти. Аргумент $\varphi = \operatorname{arccos}(-\frac{1}{\sqrt{5}})$.
Тригонометрическая форма: $z = \sqrt{5}(\cos(\operatorname{arccos}(-\frac{1}{\sqrt{5}})) + i \sin(\operatorname{arccos}(-\frac{1}{\sqrt{5}})))$.
Ответ: $\sqrt{5}(\cos(\operatorname{arccos}(-\frac{1}{\sqrt{5}})) + i \sin(\operatorname{arccos}(-\frac{1}{\sqrt{5}})))$.

1)Пусть $z = x + yi$, где $x$ - действительная часть (Re z), а $y$ - мнимая часть (Im z). Условие Re $z = 2$ означает, что $x = 2$. На комплексной плоскости, где по оси абсцисс откладывается действительная часть, а по оси ординат - мнимая, это уравнение задает вертикальную прямую, проходящую через точку $(2, 0)$.
Ответ: Множество точек, удовлетворяющих условию, является вертикальной прямой с уравнением $x=2$.

2)Пусть $z = x + yi$. Тогда сопряженное ему число $\bar{z} = x - yi$. Произведение $z\bar{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2 + y^2$. Также известно, что $z\bar{z} = |z|^2$. Неравенство принимает вид $x^2 + y^2 \ge 4$. Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 2$. Неравенство $x^2 + y^2 \ge 4$ описывает все точки, лежащие на этой окружности и вне ее.
Ответ: Множество точек, удовлетворяющих условию, представляет собой все точки комплексной плоскости, лежащие на окружности $|z|=2$ с центром в начале координат и радиусом 2, а также все точки вне этой окружности.

3)Выражение $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками $z$ и $z_0$ на комплексной плоскости. В данном случае $z_0 = i$, что соответствует точке $(0, 1)$. Неравенство $|z - i| < 3$ означает, что расстояние от точки $z$ до точки $i$ меньше 3. Это множество точек представляет собой открытый круг (без границы) с центром в точке $i$ (координаты $(0, 1)$) и радиусом $R=3$. Алгебраически, пусть $z = x + yi$: $|x + yi - i| < 3 \Rightarrow |x + (y-1)i| < 3 \Rightarrow \sqrt{x^2 + (y-1)^2} < 3 \Rightarrow x^2 + (y-1)^2 < 9$.
Ответ: Множество точек, удовлетворяющих условию, является открытым кругом с центром в точке $i$ (координаты $(0,1)$) и радиусом 3.

4)Уравнение $|z - z_1| = |z - z_2|$ задает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1$ и $z_2$. В данном случае $z_1 = 2$ (точка $(2, 0)$) и $z_2 = 1 - i$ (точка $(1, -1)$). Геометрически, это множество является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $z_1$ и $z_2$. Найдем уравнение этой прямой алгебраически. Пусть $z = x + yi$:
$|x + yi - 2| = |x + yi - (1 - i)|$
$|(x-2) + yi| = |(x-1) + (y+1)i|$
$\sqrt{(x-2)^2 + y^2} = \sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2}$
Возведем обе части в квадрат:
$(x-2)^2 + y^2 = (x-1)^2 + (y+1)^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1$
$-4x + 4 = -2x + 2y + 2$
$2 = 2x + 2y$
$x + y = 1$ или $y = -x + 1$.
Это уравнение прямой линии.
Ответ: Множество точек, удовлетворяющих условию, является прямой, заданной уравнением $y = -x+1$.

Самостоятельная работа № 15

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Корень $n$-й степени из комплексного числа

1. Найдите произведение и частное комплексных чисел $z_1$ и $z_2$, если:

1) $z_1 = 4 \left(\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6}\right)$, $z_2 = 2 \left(\cos \frac{\pi}{3} - i\sin \frac{\pi}{3}\right);$

2) $z_1 = 3 \left(\cos \frac{3\pi}{4} - i\sin \frac{3\pi}{4}\right)$, $z_2 = 1 + i.$

2. Найдите значение выражения $(1 + \sqrt{3}i)^5$.

3. Изобразите на комплексной плоскости числа, являющиеся корнями третьей степени из числа $z = \sqrt{3} - i$.

1)

Даны комплексные числа $z_1 = 4(\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6})$ и $z_2 = 2(\cos \frac{\pi}{3} - i\sin \frac{\pi}{3})$.

Сначала приведем число $z_2$ к стандартной тригонометрической форме, используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos \alpha$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$):

$z_2 = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

Таким образом, имеем: $r_1 = 4, \varphi_1 = \frac{5\pi}{6}$ и $r_2 = 2, \varphi_2 = -\frac{\pi}{3}$.

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме находится по формуле: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$.

$z_1 \cdot z_2 = 4 \cdot 2 (\cos(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3})) = 8 (\cos(\frac{5\pi - 2\pi}{6}) + i\sin(\frac{3\pi}{6})) = 8(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2})$.

Так как $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ и $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, получаем:

$z_1 \cdot z_2 = 8(0 + i \cdot 1) = 8i$.

Частное комплексных чисел в тригонометрической форме находится по формуле: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{4}{2} (\cos(\frac{5\pi}{6} - (-\frac{\pi}{3})) + i\sin(\frac{5\pi}{6} - (-\frac{\pi}{3}))) = 2 (\cos(\frac{5\pi + 2\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6})) = 2(\cos \frac{7\pi}{6} + i\sin \frac{7\pi}{6})$.

Так как $\cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{z_1}{z_2} = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} - i$.

Ответ: $z_1 \cdot z_2 = 8i$; $\frac{z_1}{z_2} = -\sqrt{3} - i$.

2)

Даны комплексные числа $z_1 = 3(\cos \frac{3\pi}{4} - i\sin \frac{3\pi}{4})$ и $z_2 = 1 + i$.

Приведем оба числа к стандартной тригонометрической форме $r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$.

Для $z_1$: $z_1 = 3(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4}))$. Здесь модуль $r_1 = 3$, аргумент $\varphi_1 = -\frac{3\pi}{4}$.

Для $z_2 = 1 + i$: найдем модуль $r_2 = |z_2| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Найдем аргумент $\varphi_2$: $\cos \varphi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \varphi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$, откуда $\varphi_2 = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, $z_2 = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})$.

Найдем произведение:

$z_1 \cdot z_2 = 3 \cdot \sqrt{2} (\cos(-\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4})) = 3\sqrt{2}(\cos(-\frac{2\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})) = 3\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.

$z_1 \cdot z_2 = 3\sqrt{2}(0 - i \cdot 1) = -3i\sqrt{2}$.

Найдем частное:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{\sqrt{2}} (\cos(-\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4})) = \frac{3\sqrt{2}}{2}(\cos(-\frac{4\pi}{4}) + i\sin(-\pi)) = \frac{3\sqrt{2}}{2}(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi))$.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}(-1 + i \cdot 0) = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $z_1 \cdot z_2 = -3i\sqrt{2}$; $\frac{z_1}{z_2} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

2.

Для нахождения значения выражения $(1 + \sqrt{3}i)^5$ воспользуемся формулой Муавра: $[r(\cos \varphi + i\sin \varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.

Сначала представим комплексное число $z = 1 + \sqrt{3}i$ в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$.

Аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = \frac{1}{2}$, $\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, $z = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})$.

Теперь возведем в 5-ю степень по формуле Муавра:

$z^5 = [2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})]^5 = 2^5 (\cos(5 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(5 \cdot \frac{\pi}{3})) = 32(\cos \frac{5\pi}{3} + i\sin \frac{5\pi}{3})$.

Вычислим значения тригонометрических функций: $\cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения:

$z^5 = 32(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 16 - 16i\sqrt{3}$.

Ответ: $16 - 16i\sqrt{3}$.

3.

Требуется найти и изобразить на комплексной плоскости корни третьей степени из числа $z = \sqrt{3} - i$.

Формула для корней $n$-й степени из комплексного числа $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ имеет вид:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left(\cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)\right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

Сначала представим число $z = \sqrt{3} - i$ в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$.

Аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{1}{2}$. Это соответствует углу $\varphi = -\frac{\pi}{6}$.

Итак, $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Находим корни третьей степени ($n=3$, $k=0, 1, 2$):

$w_k = \sqrt[3]{2} \left(\cos\left(\frac{-\pi/6 + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{-\pi/6 + 2\pi k}{3}\right)\right)$.

При $k=0$: $w_0 = \sqrt[3]{2} (\cos(-\frac{\pi}{18}) + i\sin(-\frac{\pi}{18}))$.

При $k=1$: $w_1 = \sqrt[3]{2} (\cos(\frac{-\pi/6 + 2\pi}{3}) + i\sin(\frac{-\pi/6 + 2\pi}{3})) = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{11\pi}{18} + i\sin \frac{11\pi}{18})$.

При $k=2$: $w_2 = \sqrt[3]{2} (\cos(\frac{-\pi/6 + 4\pi}{3}) + i\sin(\frac{-\pi/6 + 4\pi}{3})) = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{23\pi}{18} + i\sin \frac{23\pi}{18})$.

Изображение на комплексной плоскости:

Все три корня ($w_0, w_1, w_2$) лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt[3]{2}$. Они являются вершинами правильного треугольника, вписанного в эту окружность. Первый корень $w_0$ соответствует углу $-\frac{\pi}{18}$ (или $-10^\circ$), второй $w_1$ — углу $\frac{11\pi}{18}$ (или $110^\circ$), а третий $w_2$ — углу $\frac{23\pi}{18}$ (или $230^\circ$). Угловое расстояние между соседними корнями составляет $\frac{2\pi}{3}$ (или $120^\circ$).

Ответ: Корнями третьей степени являются числа $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos(-\frac{\pi}{18}) + i\sin(-\frac{\pi}{18}))$, $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{11\pi}{18} + i\sin \frac{11\pi}{18})$, $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{23\pi}{18} + i\sin \frac{23\pi}{18})$. На комплексной плоскости эти числа являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом $\sqrt[3]{2}$.

Самостоятельная работа № 16

Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

1. Решите уравнение:

1) $z^2 + 6z + 13 = 0;$

2) $z^2 - (2 + 4i)z - 6 = 0;$

3) $z^2 + 2z - 14 - 8i = 0.$

2. Решите уравнение:

1) $z^3 + 8z^2 + z + 8 = 0;$

2) $z^4 + i = 0.$

3. Корнями уравнения $x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0$ являются три комплексных числа $x_1, x_2, x_3$. Составьте кубическое уравнение с корнями $2x_1, 2x_2$ и $2x_3.$

1. Решите уравнение:

1) $z^2 + 6z + 13 = 0$

Это квадратное уравнение вида $az^2+bz+c=0$, где $a=1, b=6, c=13$. Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения, вычислив сначала дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16$

Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными. Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{-16} = \sqrt{16 \cdot (-1)} = 4i$

Теперь найдем корни уравнения $z_{1,2}$:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 4i}{2 \cdot 1} = -3 \pm 2i$

Таким образом, получаем два корня:

$z_1 = -3 + 2i$

$z_2 = -3 - 2i$

Ответ: $z_1 = -3 + 2i, z_2 = -3 - 2i$.

2) $z^2 - (2 + 4i)z - 6 = 0$

Это квадратное уравнение с комплексными коэффициентами. $a=1, b=-(2+4i), c=-6$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-(2 + 4i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = (2 + 4i)^2 + 24$

Раскроем квадрат комплексного числа:

$(2 + 4i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 4i + (4i)^2 = 4 + 16i - 16 = -12 + 16i$

Тогда дискриминант равен:

$D = (-12 + 16i) + 24 = 12 + 16i$

Теперь нужно извлечь квадратный корень из комплексного числа $D$. Пусть $\sqrt{12 + 16i} = x + yi$. Тогда $(x + yi)^2 = 12 + 16i$.

$x^2 - y^2 + 2xyi = 12 + 16i$

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 12 \\ 2xy = 16 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - y^2 = 12 \\ y = \frac{8}{x} \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$x^2 - (\frac{8}{x})^2 = 12 \implies x^2 - \frac{64}{x^2} = 12$

$x^4 - 12x^2 - 64 = 0$

Пусть $u = x^2$ ($u \ge 0$). Получаем квадратное уравнение $u^2 - 12u - 64 = 0$.

$(u-16)(u+4) = 0$. Так как $u \ge 0$, то $u=16$.

$x^2 = 16 \implies x = \pm 4$.

Если $x=4$, то $y=8/4=2$. Если $x=-4$, то $y=8/(-4)=-2$.

Значит, $\sqrt{D} = \pm(4 + 2i)$.

Находим корни уравнения $z_{1,2}$:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4i \pm (4 + 2i)}{2}$

$z_1 = \frac{2 + 4i + 4 + 2i}{2} = \frac{6 + 6i}{2} = 3 + 3i$

$z_2 = \frac{2 + 4i - (4 + 2i)}{2} = \frac{-2 + 2i}{2} = -1 + i$

Ответ: $z_1 = 3 + 3i, z_2 = -1 + i$.

3) $z^2 + 2z - 14 - 8i = 0$

Выделим полный квадрат:

$(z^2 + 2z + 1) - 1 - 14 - 8i = 0$

$(z + 1)^2 = 15 + 8i$

Пусть $w = z+1$. Тогда $w^2 = 15+8i$. Найдем $w = \sqrt{15+8i}$. Пусть $w = x+yi$.

$(x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = 15 + 8i$

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 15 \\ 2xy = 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - y^2 = 15 \\ y = \frac{4}{x} \end{cases}$

$x^2 - (\frac{4}{x})^2 = 15 \implies x^2 - \frac{16}{x^2} = 15$

$x^4 - 15x^2 - 16 = 0$

Пусть $u = x^2$ ($u \ge 0$). $u^2 - 15u - 16 = 0$.

$(u-16)(u+1) = 0$. Так как $u \ge 0$, то $u=16$.

$x^2 = 16 \implies x = \pm 4$.

Если $x=4$, то $y=4/4=1$. Если $x=-4$, то $y=4/(-4)=-1$.

Значит, $w = \pm(4+i)$.

Поскольку $z+1 = w$, получаем:

$z+1 = 4+i \implies z_1 = 3+i$

$z+1 = -(4+i) \implies z_2 = -1 - 4 - i = -5-i$

Ответ: $z_1 = 3 + i, z_2 = -5 - i$.

2. Решите уравнение:

1) $z^3 + 8z^2 + z + 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(z^3 + 8z^2) + (z + 8) = 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$z^2(z + 8) + 1(z + 8) = 0$

$(z^2 + 1)(z + 8) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$z + 8 = 0 \implies z_1 = -8$

$z^2 + 1 = 0 \implies z^2 = -1 \implies z = \pm\sqrt{-1} \implies z_{2,3} = \pm i$

Ответ: $z_1 = -8, z_2 = i, z_3 = -i$.

2) $z^4 + i = 0$

Перепишем уравнение в виде $z^4 = -i$. Требуется найти все корни 4-й степени из числа $-i$.

Представим $-i$ в тригонометрической форме. Модуль $|-i| = 1$. Аргумент $\arg(-i) = -\frac{\pi}{2}$.

$-i = 1 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$

По формуле Муавра для извлечения корней:

$z_k = \sqrt[n]{r}(\cos(\frac{\phi+2\pi k}{n}) + i\sin(\frac{\phi+2\pi k}{n}))$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

В нашем случае $n=4, r=1, \phi = -\frac{\pi}{2}$.

$z_k = \cos(\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{4}) + i\sin(\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{4}) = \cos(\frac{-\pi + 4\pi k}{8}) + i\sin(\frac{-\pi + 4\pi k}{8})$

Вычислим корни для $k = 0, 1, 2, 3$:

k=0: $z_0 = \cos(-\frac{\pi}{8}) + i\sin(-\frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8}) - i\sin(\frac{\pi}{8})$

k=1: $z_1 = \cos(\frac{3\pi}{8}) + i\sin(\frac{3\pi}{8})$

k=2: $z_2 = \cos(\frac{7\pi}{8}) + i\sin(\frac{7\pi}{8})$

k=3: $z_3 = \cos(\frac{11\pi}{8}) + i\sin(\frac{11\pi}{8})$

Для нахождения значений в алгебраической форме используем формулы половинного угла. $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\cos(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\frac{1+\cos(\pi/4)}{2}} = \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}/2}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\frac{1-\cos(\pi/4)}{2}} = \sqrt{\frac{1-\sqrt{2}/2}{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

Используя тригонометрические тождества ($\cos(\frac{3\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8}), \sin(\frac{3\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})$ и т.д.), получаем корни:

$z_0 = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$z_1 = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

$z_2 = -\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$z_3 = -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

Ответ: $z = \pm(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})$, $z = \pm(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2})$.

3. Исходное уравнение: $x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0$. Его корни — $x_1, x_2, x_3$.

Требуется составить новое кубическое уравнение, корнями которого являются $y_1=2x_1, y_2=2x_2, y_3=2x_3$.

Пусть $y$ — корень нового уравнения. Тогда $y=2x$, где $x$ — корень исходного уравнения. Отсюда $x = \frac{y}{2}$.

Подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение:

$(\frac{y}{2})^3 - 2(\frac{y}{2})^2 + 3(\frac{y}{2}) - 1 = 0$

Раскроем скобки:

$\frac{y^3}{8} - 2(\frac{y^2}{4}) + \frac{3y}{2} - 1 = 0$

$\frac{y^3}{8} - \frac{2y^2}{4} + \frac{3y}{2} - 1 = 0$

$\frac{y^3}{8} - \frac{y^2}{2} + \frac{3y}{2} - 1 = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на наименьший общий знаменатель, то есть на 8:

$8 \cdot (\frac{y^3}{8}) - 8 \cdot (\frac{y^2}{2}) + 8 \cdot (\frac{3y}{2}) - 8 \cdot 1 = 8 \cdot 0$

$y^3 - 4y^2 + 12y - 8 = 0$

Это и есть искомое кубическое уравнение с корнями $2x_1, 2x_2, 2x_3$.

Ответ: $y^3 - 4y^2 + 12y - 8 = 0$.