Страница 14 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Схема Бернулли.

Биномиальное распределение

1. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна $\frac{3}{5}$. Какова вероятность того, что при восьми выстрелах в мишень попадут 5 раз?

2. Игральный кубик подбрасывают семь раз. Какова вероятность того, что чётное число выпадает:

1) не более трёх раз;

2) больше пяти раз?

3. Случайная величина $z$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n = 5$ и $p = 0,6$. Найдите $P(2 \le z < 4)$.

Самостоятельная работа № 23

Характеристики случайной величины

1. В коробке лежат 4 красных и 6 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 3 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

2. Случайная величина $x$ имеет следующее распределение вероятностей.

Найдите:

1. математическое ожидание;
2. дисперсию;
3. стандартное отклонение;
4. среднее абсолютное отклонение.

1.

Пусть случайная величина $X$ — это количество вынутых красных шаров. Всего в коробке $4 + 6 = 10$ шаров. Случайным образом вынимают 3 шара.

Общее число способов вынуть 3 шара из 10 равно числу сочетаний $C_{10}^3$:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$

Случайная величина $X$ может принимать значения 0, 1, 2, 3. Найдем вероятности для каждого значения:

• $P(X=0)$: 0 красных и 3 синих. Число способов: $C_4^0 \cdot C_6^3 = 1 \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.
  Вероятность: $P(X=0) = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$
• $P(X=1)$: 1 красный и 2 синих. Число способов: $C_4^1 \cdot C_6^2 = 4 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 4 \cdot 15 = 60$.
  Вероятность: $P(X=1) = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$
• $P(X=2)$: 2 красных и 1 синий. Число способов: $C_4^2 \cdot C_6^1 = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot 6 = 6 \cdot 6 = 36$.
  Вероятность: $P(X=2) = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$
• $P(X=3)$: 3 красных и 0 синих. Число способов: $C_4^3 \cdot C_6^0 = 4 \cdot 1 = 4$.
  Вероятность: $P(X=3) = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$

Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$:
$M(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)$
$M(X) = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{1}{30}$
$M(X) = 0 + \frac{1}{2} + \frac{6}{10} + \frac{3}{30} = 0.5 + 0.6 + 0.1 = 1.2$

Ответ: 1,2

2.

Сначала переведем вероятности из процентов в доли: 50% = 0,5; 35% = 0,35; 15% = 0,15.

1) математическое ожидание;

Математическое ожидание $M(x)$ вычисляется по формуле: $M(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.
$M(x) = 3 \cdot 0.5 + 4 \cdot 0.35 + 8 \cdot 0.15 = 1.5 + 1.4 + 1.2 = 4.1$

Ответ: 4,1

2) дисперсию;

Дисперсия $D(x)$ вычисляется по формуле: $D(x) = M(x^2) - [M(x)]^2$.
Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(x^2)$:
$M(x^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = 3^2 \cdot 0.5 + 4^2 \cdot 0.35 + 8^2 \cdot 0.15$
$M(x^2) = 9 \cdot 0.5 + 16 \cdot 0.35 + 64 \cdot 0.15 = 4.5 + 5.6 + 9.6 = 19.7$
Теперь вычислим дисперсию:
$D(x) = 19.7 - (4.1)^2 = 19.7 - 16.81 = 2.89$

Ответ: 2,89

3) стандартное отклонение;

Стандартное отклонение $\sigma(x)$ является квадратным корнем из дисперсии: $\sigma(x) = \sqrt{D(x)}$.
$\sigma(x) = \sqrt{2.89} = 1.7$

Ответ: 1,7

4) среднее абсолютное отклонение.

Среднее абсолютное отклонение $MAD$ вычисляется по формуле: $MAD = \sum_{i=1}^{n} |x_i - M(x)| p_i$.
$MAD = |3 - 4.1| \cdot 0.5 + |4 - 4.1| \cdot 0.35 + |8 - 4.1| \cdot 0.15$
$MAD = |-1.1| \cdot 0.5 + |-0.1| \cdot 0.35 + |3.9| \cdot 0.15$
$MAD = 1.1 \cdot 0.5 + 0.1 \cdot 0.35 + 3.9 \cdot 0.15 = 0.55 + 0.035 + 0.585 = 1.17$

Ответ: 1,17