Страница 12 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Условная вероятность

1. Известно, что $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ и $P(A \cup B) = 0,5$. Найдите:

1) $P(A \cap B)$;

2) $P_A(B)$;

3) $P_B(A)$.

2. Из коробки, в которой лежат 20 синих и 15 красных шаров, наугад берут сначала один, а потом ещё один шар. Известно, что первый шар был синим. Вычислите вероятность того, что второй шар окажется красным. Составьте дендрограмму этого опыта.

3. Среди слушателей курсов иностранных языков есть те, кто изучает английский и французский языки. Вероятность того, что наугад выбранный слушатель курсов изучает английский язык, равна 40%, а французский — 25%. Среди тех, кто изучает английский язык, доля изучающих французский составляет 15%. Найдите вероятность того, что наугад выбранный слушатель, изучающий французский язык, также изучает английский.

1) $P(A \cap B)$

Для нахождения вероятности пересечения событий A и B воспользуемся формулой сложения вероятностей для двух событий: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Выразим из этой формулы искомую вероятность: $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$.

Подставим известные значения: $P(A \cap B) = 0,4 + 0,3 - 0,5 = 0,2$.

Ответ: $0,2$.

2) $P_A(B)$

Условная вероятность $P_A(B)$ (вероятность события B при условии, что событие A произошло) вычисляется по формуле: $P_A(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

Подставим известные и ранее найденные значения: $P_A(B) = \frac{0,2}{0,4} = 0,5$.

Ответ: $0,5$.

3) $P_B(A)$

Условная вероятность $P_B(A)$ (вероятность события A при условии, что событие B произошло) вычисляется по формуле: $P_B(A) = P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Подставим известные значения: $P_B(A) = \frac{0,2}{0,3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

2.

Всего в коробке находится $20 \text{ синих} + 15 \text{ красных} = 35$ шаров. Опыт состоит в последовательном извлечении двух шаров без возвращения.

Пусть событие $С_1$ — первый извлеченный шар синий, а событие $К_2$ — второй извлеченный шар красный.

Требуется найти условную вероятность $P(К_2|С_1)$, то есть вероятность того, что второй шар будет красным, при условии, что первый шар был синим.

Если первый извлеченный шар был синим, то в коробке осталось $35 - 1 = 34$ шара. Среди них количество синих шаров уменьшилось на один ($20 - 1 = 19$), а количество красных осталось прежним (15).

Следовательно, вероятность извлечь вторым красный шар равна отношению числа красных шаров к новому общему числу шаров:

$P(К_2|С_1) = \frac{15}{34}$

Дендрограмма этого опыта:

Начало
┣━ Первый шар синий ($С_1$), $P(С_1) = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$
┃ ┣━ Второй шар синий ($С_2$), $P(С_2|С_1) = \frac{19}{34}$
┃ ┗━ Второй шар красный ($К_2$), $P(К_2|С_1) = \frac{15}{34}$
┗━ Первый шар красный ($К_1$), $P(К_1) = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$
┣━ Второй шар синий ($С_2$), $P(С_2|К_1) = \frac{20}{34} = \frac{10}{17}$
┗━ Второй шар красный ($К_2$), $P(К_2|К_1) = \frac{14}{34} = \frac{7}{17}$

Ответ: $\frac{15}{34}$.

3.

Введем обозначения событий: А — наугад выбранный слушатель курсов изучает английский язык; Ф — наугад выбранный слушатель курсов изучает французский язык.

Из условия задачи известны следующие вероятности: вероятность изучения английского языка $P(А) = 40\% = 0,4$ и вероятность изучения французского языка $P(Ф) = 25\% = 0,25$.

Условие "Среди тех, кто изучает английский язык, доля изучающих французский составляет 15%" задает условную вероятность того, что слушатель изучает французский, при условии, что он уже изучает английский: $P(Ф|А) = 15\% = 0,15$.

Требуется найти вероятность того, что слушатель, изучающий французский, также изучает английский. Это соответствует условной вероятности $P(А|Ф)$.

Для нахождения $P(А|Ф)$ воспользуемся формулой условной вероятности: $P(А|Ф) = \frac{P(А \cap Ф)}{P(Ф)}$.

Вероятность пересечения событий $P(А \cap Ф)$ (слушатель изучает оба языка) можно найти из формулы для $P(Ф|А)$: $P(Ф|А) = \frac{P(А \cap Ф)}{P(А)}$. Отсюда следует, что $P(А \cap Ф) = P(Ф|А) \cdot P(А)$.

Вычислим $P(А \cap Ф)$: $P(А \cap Ф) = 0,15 \cdot 0,4 = 0,06$.

Теперь подставим найденное значение в формулу для искомой вероятности $P(А|Ф)$:

$P(А|Ф) = \frac{0,06}{0,25} = \frac{6}{25} = 0,24$.

Ответ: $0,24$.

Самостоятельная работа № 20

Независимые события

1. Трижды бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что шестёрка выпадет только в первый раз?

2. Три стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрелка составляет 0,7, второго — 0,8, третьего — 0,6. Какова вероятность того, что будет:

1) три попадания;

2) ровно одно попадание?

3. Семь стрелков одновременно независимо друг от друга стреляют в одну цель. Вероятность попадания каждого стрелка равна 0,8. Поражение цели происходит за одно попадание. Найдите вероятность поражения цели.

1.

Обозначим события:
Событие A: при первом броске выпала шестёрка.
Событие B: при втором броске выпала не шестёрка.
Событие C: при третьем броске выпала не шестёрка.

Вероятность выпадения шестёрки при одном броске игрального кубика равна $P(A) = \frac{1}{6}$.
Вероятность того, что шестёрка не выпадет, равна $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Таким образом, $P(B) = \frac{5}{6}$ и $P(C) = \frac{5}{6}$.

Поскольку броски являются независимыми событиями, вероятность того, что все три события произойдут вместе, равна произведению их вероятностей:

$P = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{216}$.

Ответ: $\frac{25}{216}$

2.

Обозначим вероятности попадания для каждого стрелка:
$P_1 = 0,7$ (первый стрелок)
$P_2 = 0,8$ (второй стрелок)
$P_3 = 0,6$ (третий стрелок)

Тогда вероятности промаха для каждого стрелка будут:
$Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,7 = 0,3$
$Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0,8 = 0,2$
$Q_3 = 1 - P_3 = 1 - 0,6 = 0,4$

1) три попадания

Событие "три попадания" означает, что попал и первый, и второй, и третий стрелок. Так как выстрелы независимы, их вероятности перемножаются:

$P(\text{три попадания}) = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,6 = 0,336$.

Ответ: 0,336

2) ровно одно попадание

Событие "ровно одно попадание" может произойти в трёх взаимоисключающих случаях:
1. Попал первый стрелок, а второй и третий промахнулись.
2. Попал второй стрелок, а первый и третий промахнулись.
3. Попал третий стрелок, а первый и второй промахнулись.

Найдём вероятность каждого случая:
1. $P(\text{1-й попал, 2-й и 3-й промах}) = P_1 \cdot Q_2 \cdot Q_3 = 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,4 = 0,056$.
2. $P(\text{2-й попал, 1-й и 3-й промах}) = Q_1 \cdot P_2 \cdot Q_3 = 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,4 = 0,096$.
3. $P(\text{3-й попал, 1-й и 2-й промах}) = Q_1 \cdot Q_2 \cdot P_3 = 0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,6 = 0,036$.

Вероятность того, что произойдёт одно из этих событий, равна сумме их вероятностей:

$P(\text{ровно одно попадание}) = 0,056 + 0,096 + 0,036 = 0,188$.

Ответ: 0,188

3.

Поражение цели происходит, если в нее попадет хотя бы один из семи стрелков. Проще найти вероятность противоположного события — что все семь стрелков промахнутся, а затем вычесть эту вероятность из 1.

Вероятность попадания для одного стрелка: $p = 0,8$.
Следовательно, вероятность промаха для одного стрелка: $q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.

Так как выстрелы независимы, вероятность того, что все семь стрелков промахнутся, равна произведению вероятностей промаха каждого из них:

$P(\text{все промахнутся}) = q^7 = (0,2)^7 = 0,0000128$.

Вероятность поражения цели (хотя бы одно попадание) равна:

$P(\text{поражение цели}) = 1 - P(\text{все промахнутся}) = 1 - 0,0000128 = 0,9999872$.

Ответ: 0,9999872