Номер 20, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 20

Независимые события

1. Трижды бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что шестёрка выпадет только в первый раз?

2. Три стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрелка составляет 0,7, второго — 0,8, третьего — 0,6. Какова вероятность того, что будет:

1) три попадания;

2) ровно одно попадание?

3. Семь стрелков одновременно независимо друг от друга стреляют в одну цель. Вероятность попадания каждого стрелка равна 0,8. Поражение цели происходит за одно попадание. Найдите вероятность поражения цели.

1.

Обозначим события:
Событие A: при первом броске выпала шестёрка.
Событие B: при втором броске выпала не шестёрка.
Событие C: при третьем броске выпала не шестёрка.

Вероятность выпадения шестёрки при одном броске игрального кубика равна $P(A) = \frac{1}{6}$.
Вероятность того, что шестёрка не выпадет, равна $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Таким образом, $P(B) = \frac{5}{6}$ и $P(C) = \frac{5}{6}$.

Поскольку броски являются независимыми событиями, вероятность того, что все три события произойдут вместе, равна произведению их вероятностей:

$P = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{216}$.

Ответ: $\frac{25}{216}$

2.

Обозначим вероятности попадания для каждого стрелка:
$P_1 = 0,7$ (первый стрелок)
$P_2 = 0,8$ (второй стрелок)
$P_3 = 0,6$ (третий стрелок)

Тогда вероятности промаха для каждого стрелка будут:
$Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,7 = 0,3$
$Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0,8 = 0,2$
$Q_3 = 1 - P_3 = 1 - 0,6 = 0,4$

1) три попадания

Событие "три попадания" означает, что попал и первый, и второй, и третий стрелок. Так как выстрелы независимы, их вероятности перемножаются:

$P(\text{три попадания}) = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,6 = 0,336$.

Ответ: 0,336

2) ровно одно попадание

Событие "ровно одно попадание" может произойти в трёх взаимоисключающих случаях:
1. Попал первый стрелок, а второй и третий промахнулись.
2. Попал второй стрелок, а первый и третий промахнулись.
3. Попал третий стрелок, а первый и второй промахнулись.

Найдём вероятность каждого случая:
1. $P(\text{1-й попал, 2-й и 3-й промах}) = P_1 \cdot Q_2 \cdot Q_3 = 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,4 = 0,056$.
2. $P(\text{2-й попал, 1-й и 3-й промах}) = Q_1 \cdot P_2 \cdot Q_3 = 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,4 = 0,096$.
3. $P(\text{3-й попал, 1-й и 2-й промах}) = Q_1 \cdot Q_2 \cdot P_3 = 0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,6 = 0,036$.

Вероятность того, что произойдёт одно из этих событий, равна сумме их вероятностей:

$P(\text{ровно одно попадание}) = 0,056 + 0,096 + 0,036 = 0,188$.

Ответ: 0,188

3.

Поражение цели происходит, если в нее попадет хотя бы один из семи стрелков. Проще найти вероятность противоположного события — что все семь стрелков промахнутся, а затем вычесть эту вероятность из 1.

Вероятность попадания для одного стрелка: $p = 0,8$.
Следовательно, вероятность промаха для одного стрелка: $q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.

Так как выстрелы независимы, вероятность того, что все семь стрелков промахнутся, равна произведению вероятностей промаха каждого из них:

$P(\text{все промахнутся}) = q^7 = (0,2)^7 = 0,0000128$.

Вероятность поражения цели (хотя бы одно попадание) равна:

$P(\text{поражение цели}) = 1 - P(\text{все промахнутся}) = 1 - 0,0000128 = 0,9999872$.

Ответ: 0,9999872