Номер 18, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 18

Аксиомы теории вероятностей

1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,04, в девятку — 0,1, в восьмёрку — 0,2. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберёт:

1) не меньше 9 очков;

2) не меньше 8 очков;

3) меньше 8 очков?

2. В двух колодах лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие $A$ состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках чётная; событие $B$ — в том, что по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 1.

Найдите вероятность события:

1) $A$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

3. В школе работают две спортивные секции — волейбольная и баскетбольная. Вероятность встретить среди учащихся школы волейболиста равна 12%, баскетболиста — 17%, а ученика, посещающего обе секции, — 7%. Какова вероятность того, что выбранный наугад учащийся этой школы посещает хотя бы одну из указанных секций?

Задача 1

Обозначим события: $A_{10}$ — попадание в десятку с вероятностью $P(A_{10}) = 0,04$; $A_9$ — попадание в девятку с вероятностью $P(A_9) = 0,1$; $A_8$ — попадание в восьмёрку с вероятностью $P(A_8) = 0,2$. Эти события являются несовместными, так как одним выстрелом нельзя попасть одновременно в разные зоны.

1) не меньше 9 очков

Событие "набрать не меньше 9 очков" означает, что стрелок попал либо в девятку ($A_9$), либо в десятку ($A_{10}$). Так как эти события несовместны, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:

$P(\text{не меньше 9 очков}) = P(A_9 \cup A_{10}) = P(A_9) + P(A_{10}) = 0,1 + 0,04 = 0,14$

Ответ: 0,14

2) не меньше 8 очков

Событие "набрать не меньше 8 очков" означает, что стрелок попал в восьмёрку ($A_8$), девятку ($A_9$) или десятку ($A_{10}$). Вероятность этого события равна сумме вероятностей несовместных событий $A_8$, $A_9$ и $A_{10}$:

$P(\text{не меньше 8 очков}) = P(A_8 \cup A_9 \cup A_{10}) = P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10}) = 0,2 + 0,1 + 0,04 = 0,34$

Ответ: 0,34

3) меньше 8 очков

Событие "набрать меньше 8 очков" является противоположным (дополнительным) событию "набрать не меньше 8 очков". Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно:

$P(\text{меньше 8 очков}) = 1 - P(\text{не меньше 8 очков}) = 1 - 0,34 = 0,66$

Ответ: 0,66

Задача 2

В каждой из двух колод по 3 карточки с номерами 1, 2, 3. При выборе по одной карточке из каждой колоды общее число равновозможных исходов равно $3 \times 3 = 9$. Перечислим все возможные исходы в виде пар (карта 1, карта 2):
(1, 1), (1, 2), (1, 3)
(2, 1), (2, 2), (2, 3)
(3, 1), (3, 2), (3, 3)

Событие A: сумма очков на выбранных карточках чётная. Сумма двух чисел чётная, если оба числа чётные или оба нечётные. Благоприятствующие исходы: (1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3). Всего 5 исходов. Вероятность события A: $P(A) = \frac{5}{9}$.

Событие B: по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 1. Благоприятствующие исходы: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1). Всего 5 исходов. Вероятность события B: $P(B) = \frac{5}{9}$.

1) $\bar{A}$

Событие $\bar{A}$ является противоположным событию A. Оно означает, что сумма очков нечётная. Вероятность противоположного события можно найти по формуле:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

2) A ∩ B

Событие $A \cap B$ (пересечение) означает, что происходят оба события одновременно: сумма очков чётная, и при этом хотя бы одна карточка имеет номер 1. Найдём общие исходы для событий A и B. Это исходы, в которых есть цифра 1 и сумма чётная: (1, 1), (1, 3), (3, 1). Всего 3 благоприятствующих исхода. Вероятность события $A \cap B$ равна:

$P(A \cap B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

3) A ∪ B

Событие $A \cup B$ (объединение) означает, что происходит хотя бы одно из событий: либо сумма очков чётная, либо хотя бы одна карточка имеет номер 1. Вероятность объединения событий находится по формуле сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$P(A \cup B) = \frac{5}{9} + \frac{5}{9} - \frac{3}{9} = \frac{5+5-3}{9} = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$

Задача 3

Введём обозначения для событий: $В$ — случайно выбранный учащийся является волейболистом, $P(В) = 12\% = 0,12$; $Б$ — случайно выбранный учащийся является баскетболистом, $P(Б) = 17\% = 0,17$; $В \cap Б$ — случайно выбранный учащийся посещает обе секции, $P(В \cap Б) = 7\% = 0,07$.

Требуется найти вероятность того, что выбранный наугад учащийся посещает хотя бы одну из указанных секций. Это событие является объединением событий $В$ и $Б$, то есть $В \cup Б$. Для нахождения вероятности объединения двух событий используем формулу сложения вероятностей:

$P(В \cup Б) = P(В) + P(Б) - P(В \cap Б)$

Подставим известные значения в формулу:

$P(В \cup Б) = 0,12 + 0,17 - 0,07 = 0,29 - 0,07 = 0,22$

Таким образом, вероятность того, что учащийся посещает хотя бы одну секцию, составляет 0,22.

Ответ: 0,22