Номер 16, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 16

Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

1. Решите уравнение:

1) $z^2 + 6z + 13 = 0;$

2) $z^2 - (2 + 4i)z - 6 = 0;$

3) $z^2 + 2z - 14 - 8i = 0.$

2. Решите уравнение:

1) $z^3 + 8z^2 + z + 8 = 0;$

2) $z^4 + i = 0.$

3. Корнями уравнения $x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0$ являются три комплексных числа $x_1, x_2, x_3$. Составьте кубическое уравнение с корнями $2x_1, 2x_2$ и $2x_3.$

1. Решите уравнение:

1) $z^2 + 6z + 13 = 0$

Это квадратное уравнение вида $az^2+bz+c=0$, где $a=1, b=6, c=13$. Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения, вычислив сначала дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16$

Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными. Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{-16} = \sqrt{16 \cdot (-1)} = 4i$

Теперь найдем корни уравнения $z_{1,2}$:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 4i}{2 \cdot 1} = -3 \pm 2i$

Таким образом, получаем два корня:

$z_1 = -3 + 2i$

$z_2 = -3 - 2i$

Ответ: $z_1 = -3 + 2i, z_2 = -3 - 2i$.

2) $z^2 - (2 + 4i)z - 6 = 0$

Это квадратное уравнение с комплексными коэффициентами. $a=1, b=-(2+4i), c=-6$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-(2 + 4i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = (2 + 4i)^2 + 24$

Раскроем квадрат комплексного числа:

$(2 + 4i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 4i + (4i)^2 = 4 + 16i - 16 = -12 + 16i$

Тогда дискриминант равен:

$D = (-12 + 16i) + 24 = 12 + 16i$

Теперь нужно извлечь квадратный корень из комплексного числа $D$. Пусть $\sqrt{12 + 16i} = x + yi$. Тогда $(x + yi)^2 = 12 + 16i$.

$x^2 - y^2 + 2xyi = 12 + 16i$

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 12 \\ 2xy = 16 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - y^2 = 12 \\ y = \frac{8}{x} \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$x^2 - (\frac{8}{x})^2 = 12 \implies x^2 - \frac{64}{x^2} = 12$

$x^4 - 12x^2 - 64 = 0$

Пусть $u = x^2$ ($u \ge 0$). Получаем квадратное уравнение $u^2 - 12u - 64 = 0$.

$(u-16)(u+4) = 0$. Так как $u \ge 0$, то $u=16$.

$x^2 = 16 \implies x = \pm 4$.

Если $x=4$, то $y=8/4=2$. Если $x=-4$, то $y=8/(-4)=-2$.

Значит, $\sqrt{D} = \pm(4 + 2i)$.

Находим корни уравнения $z_{1,2}$:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4i \pm (4 + 2i)}{2}$

$z_1 = \frac{2 + 4i + 4 + 2i}{2} = \frac{6 + 6i}{2} = 3 + 3i$

$z_2 = \frac{2 + 4i - (4 + 2i)}{2} = \frac{-2 + 2i}{2} = -1 + i$

Ответ: $z_1 = 3 + 3i, z_2 = -1 + i$.

3) $z^2 + 2z - 14 - 8i = 0$

Выделим полный квадрат:

$(z^2 + 2z + 1) - 1 - 14 - 8i = 0$

$(z + 1)^2 = 15 + 8i$

Пусть $w = z+1$. Тогда $w^2 = 15+8i$. Найдем $w = \sqrt{15+8i}$. Пусть $w = x+yi$.

$(x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = 15 + 8i$

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 15 \\ 2xy = 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - y^2 = 15 \\ y = \frac{4}{x} \end{cases}$

$x^2 - (\frac{4}{x})^2 = 15 \implies x^2 - \frac{16}{x^2} = 15$

$x^4 - 15x^2 - 16 = 0$

Пусть $u = x^2$ ($u \ge 0$). $u^2 - 15u - 16 = 0$.

$(u-16)(u+1) = 0$. Так как $u \ge 0$, то $u=16$.

$x^2 = 16 \implies x = \pm 4$.

Если $x=4$, то $y=4/4=1$. Если $x=-4$, то $y=4/(-4)=-1$.

Значит, $w = \pm(4+i)$.

Поскольку $z+1 = w$, получаем:

$z+1 = 4+i \implies z_1 = 3+i$

$z+1 = -(4+i) \implies z_2 = -1 - 4 - i = -5-i$

Ответ: $z_1 = 3 + i, z_2 = -5 - i$.

2. Решите уравнение:

1) $z^3 + 8z^2 + z + 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(z^3 + 8z^2) + (z + 8) = 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$z^2(z + 8) + 1(z + 8) = 0$

$(z^2 + 1)(z + 8) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$z + 8 = 0 \implies z_1 = -8$

$z^2 + 1 = 0 \implies z^2 = -1 \implies z = \pm\sqrt{-1} \implies z_{2,3} = \pm i$

Ответ: $z_1 = -8, z_2 = i, z_3 = -i$.

2) $z^4 + i = 0$

Перепишем уравнение в виде $z^4 = -i$. Требуется найти все корни 4-й степени из числа $-i$.

Представим $-i$ в тригонометрической форме. Модуль $|-i| = 1$. Аргумент $\arg(-i) = -\frac{\pi}{2}$.

$-i = 1 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$

По формуле Муавра для извлечения корней:

$z_k = \sqrt[n]{r}(\cos(\frac{\phi+2\pi k}{n}) + i\sin(\frac{\phi+2\pi k}{n}))$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

В нашем случае $n=4, r=1, \phi = -\frac{\pi}{2}$.

$z_k = \cos(\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{4}) + i\sin(\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{4}) = \cos(\frac{-\pi + 4\pi k}{8}) + i\sin(\frac{-\pi + 4\pi k}{8})$

Вычислим корни для $k = 0, 1, 2, 3$:

k=0: $z_0 = \cos(-\frac{\pi}{8}) + i\sin(-\frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8}) - i\sin(\frac{\pi}{8})$

k=1: $z_1 = \cos(\frac{3\pi}{8}) + i\sin(\frac{3\pi}{8})$

k=2: $z_2 = \cos(\frac{7\pi}{8}) + i\sin(\frac{7\pi}{8})$

k=3: $z_3 = \cos(\frac{11\pi}{8}) + i\sin(\frac{11\pi}{8})$

Для нахождения значений в алгебраической форме используем формулы половинного угла. $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\cos(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\frac{1+\cos(\pi/4)}{2}} = \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}/2}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\frac{1-\cos(\pi/4)}{2}} = \sqrt{\frac{1-\sqrt{2}/2}{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

Используя тригонометрические тождества ($\cos(\frac{3\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8}), \sin(\frac{3\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})$ и т.д.), получаем корни:

$z_0 = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$z_1 = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

$z_2 = -\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$z_3 = -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

Ответ: $z = \pm(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})$, $z = \pm(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2})$.

3. Исходное уравнение: $x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0$. Его корни — $x_1, x_2, x_3$.

Требуется составить новое кубическое уравнение, корнями которого являются $y_1=2x_1, y_2=2x_2, y_3=2x_3$.

Пусть $y$ — корень нового уравнения. Тогда $y=2x$, где $x$ — корень исходного уравнения. Отсюда $x = \frac{y}{2}$.

Подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение:

$(\frac{y}{2})^3 - 2(\frac{y}{2})^2 + 3(\frac{y}{2}) - 1 = 0$

Раскроем скобки:

$\frac{y^3}{8} - 2(\frac{y^2}{4}) + \frac{3y}{2} - 1 = 0$

$\frac{y^3}{8} - \frac{2y^2}{4} + \frac{3y}{2} - 1 = 0$

$\frac{y^3}{8} - \frac{y^2}{2} + \frac{3y}{2} - 1 = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на наименьший общий знаменатель, то есть на 8:

$8 \cdot (\frac{y^3}{8}) - 8 \cdot (\frac{y^2}{2}) + 8 \cdot (\frac{3y}{2}) - 8 \cdot 1 = 8 \cdot 0$

$y^3 - 4y^2 + 12y - 8 = 0$

Это и есть искомое кубическое уравнение с корнями $2x_1, 2x_2, 2x_3$.

Ответ: $y^3 - 4y^2 + 12y - 8 = 0$.