Номер 10, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 10

Правила нахождения первообразной

1. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x^3 + \frac{6}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

2) $f(x) = 3\cos x - \frac{4}{\sin^2 x}$ на промежутке $(0; \pi)$.

2. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, график которой проходит через данную точку:

1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{9x-2}}$, $I = (\frac{2}{9}; +\infty)$, $A(3; 1)$;

2) $f(x) = e^{-x} + \frac{1}{3x-1}$, $I = (-\infty; \frac{1}{3})$, $M(0; 0)$.

3. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = 9t^2 + 1$. Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 2$ с точка находилась на расстоянии 42 м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

4. Найдите $\int \sin 7x \cos 4x \, dx$.

1) Представим функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = x^3 + 6x^{-1/2}$. Общий вид первообразной $F(x)$ находим, интегрируя каждое слагаемое по отдельности, используя формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $F(x) = \int (x^3 + 6x^{-1/2}) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + 6 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^4}{4} + 6 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^4}{4} + 12\sqrt{x} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + 12\sqrt{x} + C$.

2) Для нахождения общего вида первообразной $F(x)$ воспользуемся таблицей первообразных: $F(x) = \int (3\cos x - \frac{4}{\sin^2 x}) dx$. Первообразная для $3\cos x$ равна $3\sin x$. Первообразная для $-\frac{4}{\sin^2 x}$ равна $-4(-\cot x) = 4\cot x$. Следовательно, $F(x) = 3\sin x + 4\cot x + C$.
Ответ: $F(x) = 3\sin x + 4\cot x + C$.

1) Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{9x-2}} = (9x-2)^{-1/2}$. $F(x) = \int (9x-2)^{-1/2} dx = \frac{1}{9} \cdot \frac{(9x-2)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{9} \cdot \frac{(9x-2)^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{9}\sqrt{9x-2} + C$. График первообразной проходит через точку $A(3; 1)$, значит $F(3)=1$. Подставим значения $x=3$ и $F(x)=1$: $1 = \frac{2}{9}\sqrt{9 \cdot 3 - 2} + C$
$1 = \frac{2}{9}\sqrt{25} + C$
$1 = \frac{2}{9} \cdot 5 + C$
$1 = \frac{10}{9} + C$
$C = 1 - \frac{10}{9} = -\frac{1}{9}$. Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = \frac{2}{9}\sqrt{9x-2} - \frac{1}{9}$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{9}\sqrt{9x-2} - \frac{1}{9}$.

2) Находим общий вид первообразной для $f(x) = e^{-x} + \frac{1}{3x-1}$: $F(x) = \int (e^{-x} + \frac{1}{3x-1}) dx = -e^{-x} + \frac{1}{3}\ln|3x-1| + C$. На промежутке $I = (-\infty; \frac{1}{3})$ выражение $3x-1$ всегда отрицательно, поэтому $|3x-1| = -(3x-1) = 1-3x$. Тогда $F(x) = -e^{-x} + \frac{1}{3}\ln(1-3x) + C$. График первообразной проходит через точку $M(0; 0)$, значит $F(0)=0$. Подставим значения: $0 = -e^{-0} + \frac{1}{3}\ln(1-3 \cdot 0) + C$
$0 = -1 + \frac{1}{3}\ln(1) + C$
$0 = -1 + 0 + C$
$C = 1$. Искомая первообразная: $F(x) = -e^{-x} + \frac{1}{3}\ln(1-3x) + 1$.
Ответ: $F(x) = -e^{-x} + \frac{1}{3}\ln(1-3x) + 1$.

3. Зависимость координаты от времени $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$. Найдем общий вид первообразной для $v(t) = 9t^2 + 1$: $s(t) = \int (9t^2 + 1) dt = 9 \cdot \frac{t^3}{3} + t + C = 3t^3 + t + C$. По условию, в момент времени $t = 2$ с точка находилась на расстоянии 42 м от начала координат, то есть $s(2) = 42$. Подставим эти значения в найденное уравнение для $s(t)$: $42 = 3 \cdot (2)^3 + 2 + C$
$42 = 3 \cdot 8 + 2 + C$
$42 = 24 + 2 + C$
$42 = 26 + C$
$C = 42 - 26 = 16$. Таким образом, формула зависимости координаты от времени: $s(t) = 3t^3 + t + 16$.
Ответ: $s(t) = 3t^3 + t + 16$.

4. Для нахождения интеграла $\int \sin 7x \cos 4x dx$ воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$. Применим эту формулу к подынтегральному выражению, где $\alpha=7x$ и $\beta=4x$: $\sin 7x \cos 4x = \frac{1}{2}(\sin(7x+4x) + \sin(7x-4x)) = \frac{1}{2}(\sin(11x) + \sin(3x))$. Теперь интегрируем полученное выражение: $\int \frac{1}{2}(\sin(11x) + \sin(3x)) dx = \frac{1}{2} \int (\sin(11x) + \sin(3x)) dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{11}\cos(11x) - \frac{1}{3}\cos(3x) \right) + C = -\frac{1}{22}\cos(11x) - \frac{1}{6}\cos(3x) + C$.
Ответ: $-\frac{1}{22}\cos(11x) - \frac{1}{6}\cos(3x) + C$.