Номер 5, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Логарифмическая функция и её свойства

1. Сравните:

1) $\log_{\frac{1}{3}} 6$ и $\log_{\frac{1}{3}} 5$;

2) $\log_3 12$ и $2$;

3) $\log_{12} 13$ и $\log_{13} 12$;

4) $\log_{0,2} 0,3$ и $\log_{0,3} 0,2$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_{0,2}(2x - 7)$;

2) $y = \log_{x - 1}(5 - x)$;

3) $y = \lg(12 + x - x^2) + \frac{1}{\lg(2 - x)}$.

3. Постройте график функции:

1) $y = \log_3(x - 2)$;

2) $y = \log_3(-x) + 1$;

3) $y = \left| \log_{\frac{1}{3}} x \right|$.

4. Найдите наибольшее значение функции:

$y = \log_{0,5}(x^2 - 2x + 5)$.

1. Сравните:

1) $\log_{\frac{1}{3}} 6$ и $\log_{\frac{1}{3}} 5$

Функция $y = \log_a x$ при $0 < a < 1$ является убывающей. В данном случае основание $a = \frac{1}{3}$, что удовлетворяет этому условию. Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Так как $6 > 5$, то $\log_{\frac{1}{3}} 6 < \log_{\frac{1}{3}} 5$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} 6 < \log_{\frac{1}{3}} 5$.

2) $\log_3 12$ и $2$

Представим число 2 в виде логарифма с основанием 3: $2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$. Теперь сравним $\log_3 12$ и $\log_3 9$. Функция $y = \log_a x$ при $a > 1$ является возрастающей. В данном случае основание $a = 3 > 1$. Для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Так как $12 > 9$, то $\log_3 12 > \log_3 9$, следовательно, $\log_3 12 > 2$.

Ответ: $\log_3 12 > 2$.

3) $\log_{12} 13$ и $\log_{13} 12$

Сравним каждое из выражений с 1.
Для логарифма $\log_{12} 13$: основание $12 > 1$ и аргумент $13 > 12$, следовательно $\log_{12} 13 > \log_{12} 12 = 1$.
Для логарифма $\log_{13} 12$: основание $13 > 1$ и аргумент $12 < 13$, следовательно $\log_{13} 12 < \log_{13} 13 = 1$.
Так как $\log_{12} 13 > 1$ и $\log_{13} 12 < 1$, то $\log_{12} 13 > \log_{13} 12$.

Ответ: $\log_{12} 13 > \log_{13} 12$.

4) $\log_{0,2} 0,3$ и $\log_{0,3} 0,2$

Сравним каждое из выражений с 1.
Для логарифма $\log_{0,2} 0,3$: основание $0,2 < 1$ и аргумент $0,3 > 0,2$, следовательно $\log_{0,2} 0,3 < \log_{0,2} 0,2 = 1$.
Для логарифма $\log_{0,3} 0,2$: основание $0,3 < 1$ и аргумент $0,2 < 0,3$, следовательно $\log_{0,3} 0,2 > \log_{0,3} 0,3 = 1$.
Так как $\log_{0,2} 0,3 < 1$ и $\log_{0,3} 0,2 > 1$, то $\log_{0,2} 0,3 < \log_{0,3} 0,2$.

Ответ: $\log_{0,2} 0,3 < \log_{0,3} 0,2$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_{0,2}(2x - 7)$

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$2x - 7 > 0$
$2x > 7$
$x > 3,5$
Область определения: $(3,5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3,5; +\infty)$.

2) $y = \log_{x-1}(5 - x)$

Область определения логарифмической функции задается системой условий:
1. Аргумент больше нуля: $5 - x > 0 \implies x < 5$.
2. Основание больше нуля: $x - 1 > 0 \implies x > 1$.
3. Основание не равно единице: $x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2$.
Объединяя условия, получаем $1 < x < 5$ и $x \neq 2$.

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (2; 5)$.

3) $y = \lg(12 + x - x^2) + \frac{1}{\lg(2 - x)}$

Область определения функции определяется системой условий:
1. Аргумент первого логарифма больше нуля: $12 + x - x^2 > 0 \implies x^2 - x - 12 < 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ равны $x_1 = -3, x_2 = 4$. Следовательно, $x \in (-3; 4)$.
2. Аргумент второго логарифма больше нуля: $2 - x > 0 \implies x < 2$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\lg(2 - x) \neq 0 \implies 2 - x \neq 1 \implies x \neq 1$.
Пересечение всех условий: $x \in (-3; 4)$, $x < 2$ и $x \neq 1$, что дает $x \in (-3; 1) \cup (1; 2)$.

Ответ: $x \in (-3; 1) \cup (1; 2)$.

3. Постройте график функции:

1) $y = \log_3(x - 2)$

График этой функции получается из графика $y = \log_3 x$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси Ox.
- Вертикальная асимптота: $x = 2$.
- Область определения: $x > 2$.
- Ключевые точки:
- $x=3, y=\log_3(3-2) = \log_3 1 = 0$. Точка (3, 0).
- $x=5, y=\log_3(5-2) = \log_3 3 = 1$. Точка (5, 1).
График представляет собой возрастающую кривую, которая проходит через точку $(3, 0)$ и асимптотически приближается к прямой $x=2$.

2) $y = \log_3(-x) + 1$

График получается из $y = \log_3 x$ преобразованиями:
1. Отражение относительно оси Oy, чтобы получить $y = \log_3(-x)$.
2. Сдвиг на 1 единицу вверх по оси Oy.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Область определения: $-x > 0 \implies x < 0$.
- Ключевые точки:
- $x=-1, y=\log_3(-(-1)) + 1 = \log_3 1 + 1 = 1$. Точка (-1, 1).
- $x=-3, y=\log_3(-(-3)) + 1 = \log_3 3 + 1 = 2$. Точка (-3, 2).
- Пересечение с осью Ox ($y=0$): $\log_3(-x) = -1 \implies -x=3^{-1} \implies x=-1/3$. Точка (-1/3, 0).
График представляет собой убывающую кривую в левой полуплоскости, которая проходит через точку $(-1, 1)$ и асимптотически приближается к оси Oy.

3) $y = \left|\log_{\frac{1}{3}} x\right|$

Сначала строим график функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Это убывающая логарифмическая кривая, проходящая через точку $(1,0)$. Затем часть графика, находящуюся ниже оси Ox (при $x > 1$), симметрично отражаем относительно оси Ox.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Область определения: $x > 0$.
- График состоит из двух частей:
- $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ при $0 < x \le 1$.
- $y = -\log_{\frac{1}{3}} x = \log_3 x$ при $x > 1$.
- Ключевые точки: $(1/3, 1)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$.
График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(1,0)$.

4. Найдите наибольшее значение функции

$y = \log_{0,5}(x^2 - 2x + 5)$

Логарифмическая функция $y = \log_{0,5} t$ является убывающей, так как ее основание $0,5 < 1$. Следовательно, своего наибольшего значения она достигает при наименьшем значении аргумента $t(x) = x^2 - 2x + 5$.
Аргумент $t(x)$ — это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение находится в вершине.
Координата вершины по оси абсцисс: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
Наименьшее значение аргумента: $t_{min} = t(1) = 1^2 - 2(1) + 5 = 4$.
Теперь находим наибольшее значение функции $y$:
$y_{max} = \log_{0,5}(t_{min}) = \log_{0,5} 4 = \log_{1/2} 4 = \log_{2^{-1}} 2^2 = \frac{2}{-1} \log_2 2 = -2$.

Ответ: -2.