Номер 7, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 7

Логарифмические неравенства

Решите неравенство:

1) $log_5(4x - 3) > log_5(3 - 2x);$

2) $log_{\frac{1}{6}}(x + 4) > log_{\frac{1}{6}}(x^2 + 2x - 2);$

3) $log_{0.4}(x - 1) + log_{0.4}x \ge log_{0.4}(x + 3);$

4) $log^2_{0.4}(-x) - 0.25log_{0.4}x^4 \le 2;$

5) $log_x(x^2 - 7x + 12) < 1.$

1) $log_5(4x - 3) > log_5(3 - 2x)$

Решение этого неравенства равносильно решению системы:
$ \begin{cases} 4x - 3 > 0 \\ 3 - 2x > 0 \\ 4x - 3 > 3 - 2x \end{cases} $
Так как основание логарифма $5 > 1$, знак неравенства сохраняется.
1. $4x - 3 > 0 \implies 4x > 3 \implies x > \frac{3}{4}$
2. $3 - 2x > 0 \implies 3 > 2x \implies x < \frac{3}{2}$
3. $4x - 3 > 3 - 2x \implies 6x > 6 \implies x > 1$
Объединяя все условия, получаем:
$ \begin{cases} x > \frac{3}{4} \\ x < \frac{3}{2} \\ x > 1 \end{cases} $
Пересечением этих интервалов является $1 < x < \frac{3}{2}$.
Ответ: $x \in (1; \frac{3}{2})$.

2) $log_{\frac{1}{6}}(x + 4) > log_{\frac{1}{6}}(x^2 + 2x - 2)$

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{6} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный. Неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} x + 4 > 0 \\ x^2 + 2x - 2 > 0 \\ x + 4 < x^2 + 2x - 2 \end{cases} $
1. $x + 4 > 0 \implies x > -4$.
2. $x^2 + 2x - 2 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 2 = 0$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1-\sqrt{3}) \cup (-1+\sqrt{3}; +\infty)$.
3. $x + 4 < x^2 + 2x - 2 \implies x^2 + x - 6 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.
Теперь найдем пересечение всех трех решений.
- Из (1) и (2) получаем ОДЗ: $x \in (-4; -1-\sqrt{3}) \cup (-1+\sqrt{3}; +\infty)$.
- Учтем решение (3):
- Пересечение $(-4; -1-\sqrt{3})$ и $(-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$. Так как $-1-\sqrt{3} \approx -2.73$, пересечением будет интервал $(-4; -3)$.
- Пересечение $(-1+\sqrt{3}; +\infty)$ и $(-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$. Так как $-1+\sqrt{3} \approx 0.73$, пересечением будет интервал $(2; +\infty)$.
Общее решение: $x \in (-4; -3) \cup (2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-4; -3) \cup (2; +\infty)$.

3) $log_{0,4}(x - 1) + log_{0,4}x \ge log_{0,4}(x + 3)$

Используем свойство суммы логарифмов: $log_a b + log_a c = log_a (bc)$.
$log_{0,4}((x - 1)x) \ge log_{0,4}(x + 3)$
Так как основание $0 < 0,4 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный. Система:
$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x > 0 \\ x + 3 > 0 \\ (x - 1)x \le x + 3 \end{cases} $
1. Из первых трех неравенств (ОДЗ) получаем $x > 1$.
2. Решим четвертое неравенство:
$x^2 - x \le x + 3 \implies x^2 - 2x - 3 \le 0$.
Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.
Решение неравенства: $x \in [-1; 3]$.
3. Найдем пересечение ОДЗ $(1; +\infty)$ и решения $[-1; 3]$.
Получаем интервал $(1; 3]$.
Ответ: $x \in (1; 3]$.

4) $log_{0,4}^2(-x) - 0,25log_{0,4}x^4 \le 2$

ОДЗ: $-x > 0 \implies x < 0$.
Упростим выражение: $log_{0,4}x^4 = 4log_{0,4}|x|$. Так как по ОДЗ $x < 0$, то $|x| = -x$.
Следовательно, $log_{0,4}x^4 = 4log_{0,4}(-x)$.
Неравенство принимает вид:
$log_{0,4}^2(-x) - 0,25 \cdot 4log_{0,4}(-x) \le 2$
$log_{0,4}^2(-x) - log_{0,4}(-x) - 2 \le 0$
Сделаем замену $t = log_{0,4}(-x)$:
$t^2 - t - 2 \le 0$
Корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$: $t_1 = -1$, $t_2 = 2$.
Решение для $t$: $-1 \le t \le 2$.
Возвращаемся к замене:
$-1 \le log_{0,4}(-x) \le 2$
Представим $-1$ и $2$ в виде логарифмов по основанию 0,4:
$log_{0,4}(0,4^{-1}) \le log_{0,4}(-x) \le log_{0,4}(0,4^2)$
$log_{0,4}(2,5) \le log_{0,4}(-x) \le log_{0,4}(0,16)$
Так как основание $0 < 0,4 < 1$, знаки неравенства меняются:
$2,5 \ge -x \ge 0,16$
$0,16 \le -x \le 2,5$
Умножим на -1, снова меняя знаки неравенства:
$-0,16 \ge x \ge -2,5$, или $-2,5 \le x \le -0,16$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).
Ответ: $x \in [-2,5; -0,16]$.

5) $log_x(x^2 - 7x + 12) < 1$

Поскольку основание логарифма $x$ является переменной, рассмотрим два случая.
Сначала найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ x \ne 1 \\ x^2 - 7x + 12 > 0 \end{cases} $
Решим $x^2 - 7x + 12 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ равны 3 и 4.
Тогда $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$.
С учетом $x>0$ и $x \ne 1$, ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; 3) \cup (4; +\infty)$.
Представим $1$ как $log_x x$. Неравенство: $log_x(x^2 - 7x + 12) < log_x x$.
Случай 1: $0 < x < 1$.
Знак неравенства меняется:
$x^2 - 7x + 12 > x$
$x^2 - 8x + 12 > 0$
Корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$ равны 2 и 6.
Решение: $x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$.
Найдем пересечение этого решения с условием случая $(0; 1)$:
$((-\infty; 2) \cup (6; +\infty)) \cap (0; 1) = (0; 1)$.
Случай 2: $x > 1$.
Знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 7x + 12 < x$
$x^2 - 8x + 12 < 0$
Решение: $x \in (2; 6)$.
Найдем пересечение этого решения с ОДЗ для данного случая, то есть с $(1; 3) \cup (4; +\infty)$:
$(2; 6) \cap ((1; 3) \cup (4; +\infty)) = (2; 3) \cup (4; 6)$.
Объединим решения из обоих случаев:
$(0; 1) \cup (2; 3) \cup (4; 6)$.
Ответ: $x \in (0; 1) \cup (2; 3) \cup (4; 6)$.