Номер 4, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 4

Логарифм и его свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $\log_{\frac{1}{3}} \log_2 512$;

2) $\log_{18} 36 + \log_{18} 9$;

3) $\frac{\lg 27}{\lg 3}$;

4) $\log_{64} \sqrt[3]{2}$;

5) $27^{1 - \log_3 4}$;

6) $5^{\frac{4}{\log_3 5}}$.

2. Решите уравнение:

1) $3^x = 5$;

2) $\log_{x-1} 25 = 2$.

3. Найдите значение выражения:

$\frac{2\log_3 4 + \log_3 0,5}{\log_3 6 - \log_3 12}$.

4. Постройте график функции:

1) $y = 4^{\log_4 (x-2)}$;

2) $y = \log_{x+1} (x+1)$.

5. Найдите $\log_{35} 7$, если $\log_{35} 25 = a$.

1. Найдите значение выражения:

1) $\log_{\frac{1}{3}} \log_2 512$
Сначала вычислим внутренний логарифм: $\log_2 512$.
Так как $2^9 = 512$, то $\log_2 512 = 9$.
Теперь выражение принимает вид: $\log_{\frac{1}{3}} 9$.
Пусть $\log_{\frac{1}{3}} 9 = x$. По определению логарифма, $(\frac{1}{3})^x = 9$.
Представим обе части уравнения как степени числа 3:
$(3^{-1})^x = 3^2$
$3^{-x} = 3^2$
Отсюда $-x = 2$, значит $x = -2$.
Ответ: -2.

2) $\log_{18} 36 + \log_{18} 9$
Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_b m + \log_b n = \log_b (m \cdot n)$.
$\log_{18} 36 + \log_{18} 9 = \log_{18} (36 \cdot 9) = \log_{18} 324$.
Так как $18^2 = 324$, то $\log_{18} 324 = 2$.
Ответ: 2.

3) $\frac{\lg 27}{\lg 3}$
Используем формулу перехода к новому основанию: $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$.
$\frac{\lg 27}{\lg 3} = \log_3 27$.
Так как $3^3 = 27$, то $\log_3 27 = 3$.
Ответ: 3.

4) $\log_{64} \sqrt[3]{2}$
Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 2:
$64 = 2^6$
$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$
$\log_{64} \sqrt[3]{2} = \log_{2^6} (2^{\frac{1}{3}})$.
Используем свойство логарифма $\log_{b^n} a^m = \frac{m}{n} \log_b a$:
$\log_{2^6} (2^{\frac{1}{3}}) = \frac{1/3}{6} \log_2 2 = \frac{1}{3 \cdot 6} \cdot 1 = \frac{1}{18}$.
Ответ: $\frac{1}{18}$.

5) $27^{1-\log_3 4}$
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$27^{1-\log_3 4} = \frac{27^1}{27^{\log_3 4}}$.
Преобразуем знаменатель: $27^{\log_3 4} = (3^3)^{\log_3 4} = 3^{3 \log_3 4} = 3^{\log_3 (4^3)} = 3^{\log_3 64}$.
По основному логарифмическому тождеству $b^{\log_b a} = a$, получаем: $3^{\log_3 64} = 64$.
Таким образом, выражение равно $\frac{27}{64}$.
Ответ: $\frac{27}{64}$.

6) $5^{\frac{4}{\log_3 5}}$
Используем свойство логарифмов $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:
$\frac{4}{\log_3 5} = 4 \cdot \log_5 3$.
Выражение принимает вид: $5^{4 \log_5 3}$.
Используем свойство $m \log_b a = \log_b (a^m)$:
$5^{4 \log_5 3} = 5^{\log_5 (3^4)} = 5^{\log_5 81}$.
По основному логарифмическому тождеству $b^{\log_b a} = a$, получаем: $5^{\log_5 81} = 81$.
Ответ: 81.

2. Решите уравнение:

1) $3^x = 5$
По определению логарифма, если $b^x = a$, то $x = \log_b a$.
Применяя это определение к нашему уравнению, получаем:
$x = \log_3 5$.
Ответ: $\log_3 5$.

2) $\log_{x-1} 25 = 2$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:
$x - 1 > 0 \implies x > 1$
$x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2$
ОДЗ: $x \in (1, 2) \cup (2, +\infty)$.
По определению логарифма, $\log_b a = c \iff b^c = a$.
$(x-1)^2 = 25$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x-1 = 5$ или $x-1 = -5$.
Решая первое уравнение, получаем $x = 6$.
Решая второе уравнение, получаем $x = -4$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.
$x=6$ удовлетворяет условиям ($6>1$ и $6 \neq 2$).
$x=-4$ не удовлетворяет условию $x > 1$.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 6.

3. Найдите значение выражения

$\frac{2\log_3 4 + \log_3 0.5}{\log_3 6 - \log_3 12}$
Упростим числитель, используя свойства логарифмов $m \log_b a = \log_b (a^m)$ и $\log_b m + \log_b n = \log_b (m \cdot n)$:
$2\log_3 4 + \log_3 0.5 = \log_3 (4^2) + \log_3 0.5 = \log_3 16 + \log_3 0.5 = \log_3 (16 \cdot 0.5) = \log_3 8$.
Упростим знаменатель, используя свойство $\log_b m - \log_b n = \log_b (\frac{m}{n})$:
$\log_3 6 - \log_3 12 = \log_3 (\frac{6}{12}) = \log_3 (\frac{1}{2})$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{\log_3 8}{\log_3 (1/2)}$.
Используем формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$:
$\frac{\log_3 8}{\log_3 (1/2)} = \log_{1/2} 8$.
Пусть $\log_{1/2} 8 = x$. Тогда $(\frac{1}{2})^x = 8$.
$(2^{-1})^x = 2^3 \implies 2^{-x} = 2^3 \implies -x = 3 \implies x = -3$.
Ответ: -3.

4. Постройте график функции:

1) $y = 4^{\log_4(x-2)}$
Найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x - 2 > 0 \implies x > 2$.
Область определения: $D(y) = (2, +\infty)$.
На этой области по основному логарифмическому тождеству $b^{\log_b a} = a$ функция упрощается до:
$y = x - 2$.
Таким образом, график функции – это часть прямой $y = x - 2$, а именно луч, который начинается в точке с абсциссой $x=2$.
Так как неравенство строгое ($x > 2$), сама точка $(2, 0)$ не принадлежит графику. Эту точку на графике изображают "выколотой" (в виде пустого кружка).
Для построения возьмем еще одну точку, например, при $x=3$, $y = 3 - 2 = 1$. Точка $(3,1)$ принадлежит графику.
График — луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий через точку $(3, 1)$.

2) $y = \log_{x+1}(x+1)$
Найдем область определения функции. Для логарифма $\log_b a$ должны выполняться условия: $a > 0, b > 0, b \neq 1$.
В нашем случае $a = x+1$ и $b = x+1$. Условия принимают вид:
$x+1 > 0 \implies x > -1$
$x+1 \neq 1 \implies x \neq 0$
Область определения: $D(y) = (-1, 0) \cup (0, +\infty)$.
Для всех $x$ из области определения используется свойство $\log_b b = 1$.
Таким образом, функция равна $y = 1$ для всех $x$ из $D(y)$.
График функции — это горизонтальная прямая $y=1$ с "выколотой" точкой при $x=0$. То есть, график состоит из двух частей: интервала $(-1, 0)$ на прямой $y=1$ и луча $(0, +\infty)$ на прямой $y=1$. Точка $(0, 1)$ не принадлежит графику.

5. Найдите $\log_{35} 7$, если $\log_{35} 25 = a$.

Дано: $\log_{35} 25 = a$.
Требуется найти: $\log_{35} 7$.
Преобразуем данное выражение, используя свойство логарифма степени $\log_b (m^k) = k \log_b m$:
$\log_{35} 25 = \log_{35} (5^2) = 2 \log_{35} 5$.
Итак, $2 \log_{35} 5 = a$, откуда $\log_{35} 5 = \frac{a}{2}$.
Воспользуемся свойством логарифма произведения и тем, что $\log_{b} b = 1$:
$\log_{35} 35 = 1$.
С другой стороны, $35 = 5 \cdot 7$, поэтому:
$\log_{35} 35 = \log_{35} (5 \cdot 7) = \log_{35} 5 + \log_{35} 7$.
Мы получили уравнение: $\log_{35} 5 + \log_{35} 7 = 1$.
Подставим в это уравнение найденное выражение для $\log_{35} 5$:
$\frac{a}{2} + \log_{35} 7 = 1$.
Выразим искомый логарифм:
$\log_{35} 7 = 1 - \frac{a}{2}$.
Ответ: $1 - \frac{a}{2}$.