Номер 1, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 1

Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция

1. Найдите значение выражения:

1) $2(\sqrt{5}-1)^2 \cdot 2^{2\sqrt{5}}$

2) $11^{\sqrt{18}} : 121^{\sqrt{2}}$

3) $((\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12}})^{\sqrt{12}}$

2. Упростите выражение:

1) $(a^{\sqrt{3}} - 4)(a^{\sqrt{3}} + 4) - (a^{\sqrt{3}} - 3)^2$

2) $\frac{a^{2\sqrt{5}} - 49}{a^{2\sqrt{5}} - 7a^{\sqrt{5}}}$

3. Сравните значения выражений:

1) $0,4^{0,5}$ и $0,4^{0,6}$

2) $0,22^{-6}$ и $1$

3) $(\sqrt{5}-1)^{-2,3}$ и $(\sqrt{5}-1)^{-2,5}$

4) $(2-\sqrt{3})^{1,5}$ и $(2+\sqrt{3})^{-1,6}$

4. Найдите область значений функции:

1) $y = -7^x$

2) $y = \left(\frac{1}{7}\right)^x - 2$

3) $y = 7|x|$

4) $y = \left(\frac{1}{9}\right)^{|\cos x|} + 1$

5. Постройте график функции:

1) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x+1}$

2) $y = |2x - 4|$

6. Решите неравенство:

$3|x|+2 > 2\cos x + 7$

1. Найдите значение выражения:

1) $2^{(\sqrt{5}-1)^2} \cdot 2^{2\sqrt{5}}$

Сначала упростим показатель степени первого множителя: $(\sqrt{5}-1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$.

Теперь выражение принимает вид: $2^{6-2\sqrt{5}} \cdot 2^{2\sqrt{5}}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$2^{(6-2\sqrt{5}) + 2\sqrt{5}} = 2^6 = 64$.

Ответ: 64.

2) $11^{\sqrt{18}} : 121^{\sqrt{2}}$

Представим $121$ как $11^2$ и упростим $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Выражение принимает вид: $11^{3\sqrt{2}} : (11^2)^{\sqrt{2}}$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $(11^2)^{\sqrt{2}} = 11^{2\sqrt{2}}$.

Теперь разделим степени: $11^{3\sqrt{2}} : 11^{2\sqrt{2}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$11^{3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}} = 11^{\sqrt{2}}$.

Ответ: $11^{\sqrt{2}}$.

3) $((\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12}})^{\sqrt{12}}$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ дважды:

$((\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12}})^{\sqrt{12}} = (\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12} \cdot \sqrt{12}} = (\sqrt[4]{3})^{12}$.

Представим корень как степень: $\sqrt[4]{3} = 3^{1/4}$.

Тогда выражение равно: $(3^{1/4})^{12} = 3^{\frac{1}{4} \cdot 12} = 3^3 = 27$.

Ответ: 27.

2. Упростите выражение:

1) $(a^{\sqrt{3}} - 4)(a^{\sqrt{3}} + 4) - (a^{\sqrt{3}} - 3)^2$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к первому произведению:

$(a^{\sqrt{3}} - 4)(a^{\sqrt{3}} + 4) = (a^{\sqrt{3}})^2 - 4^2 = a^{2\sqrt{3}} - 16$.

Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ ко второму слагаемому:

$(a^{\sqrt{3}} - 3)^2 = (a^{\sqrt{3}})^2 - 2 \cdot a^{\sqrt{3}} \cdot 3 + 3^2 = a^{2\sqrt{3}} - 6a^{\sqrt{3}} + 9$.

Теперь вычтем второе из первого:

$(a^{2\sqrt{3}} - 16) - (a^{2\sqrt{3}} - 6a^{\sqrt{3}} + 9) = a^{2\sqrt{3}} - 16 - a^{2\sqrt{3}} + 6a^{\sqrt{3}} - 9 = 6a^{\sqrt{3}} - 25$.

Ответ: $6a^{\sqrt{3}} - 25$.

2) $\frac{a^{2\sqrt{5}} - 49}{a^{2\sqrt{5}} - 7a^{\sqrt{5}}}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $a^{2\sqrt{5}} - 49 = (a^{\sqrt{5}})^2 - 7^2 = (a^{\sqrt{5}} - 7)(a^{\sqrt{5}} + 7)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $a^{\sqrt{5}}$ за скобки: $a^{2\sqrt{5}} - 7a^{\sqrt{5}} = a^{\sqrt{5}}(a^{\sqrt{5}} - 7)$.

Получим дробь: $\frac{(a^{\sqrt{5}} - 7)(a^{\sqrt{5}} + 7)}{a^{\sqrt{5}}(a^{\sqrt{5}} - 7)}$.

Сократим общий множитель $(a^{\sqrt{5}} - 7)$, предполагая, что он не равен нулю:

$\frac{a^{\sqrt{5}} + 7}{a^{\sqrt{5}}}$.

Ответ: $\frac{a^{\sqrt{5}} + 7}{a^{\sqrt{5}}}$.

3. Сравните значения выражений:

1) $0,4^{0,5}$ и $0,4^{0,6}$

Рассмотрим показательную функцию $y = a^x$ с основанием $a=0,4$. Так как $0 < 0,4 < 1$, функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку $0,5 < 0,6$, то $0,4^{0,5} > 0,4^{0,6}$.

Ответ: $0,4^{0,5} > 0,4^{0,6}$.

2) $0,22^{-6}$ и $1$

Представим 1 как $0,22^0$. Нужно сравнить $0,22^{-6}$ и $0,22^0$. Основание $a=0,22$ меньше 1, значит функция $y=0,22^x$ убывающая. Так как $-6 < 0$, то $0,22^{-6} > 0,22^0$, следовательно $0,22^{-6} > 1$.

Ответ: $0,22^{-6} > 1$.

3) $(\sqrt{5}-1)^{-2,3}$ и $(\sqrt{5}-1)^{-2,5}$

Оценим основание $a = \sqrt{5}-1$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $1 < \sqrt{5}-1 < 2$. Основание $a > 1$, следовательно, показательная функция $y = a^x$ является возрастающей. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Сравним показатели: $-2,3 > -2,5$. Значит, $(\sqrt{5}-1)^{-2,3} > (\sqrt{5}-1)^{-2,5}$.

Ответ: $(\sqrt{5}-1)^{-2,3} > (\sqrt{5}-1)^{-2,5}$.

4) $(2-\sqrt{3})^{1,5}$ и $(2+\sqrt{3})^{-1,6}$

Заметим, что $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1$. Отсюда следует, что $2+\sqrt{3} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = (2-\sqrt{3})^{-1}$.

Преобразуем второе выражение: $(2+\sqrt{3})^{-1,6} = ((2-\sqrt{3})^{-1})^{-1,6} = (2-\sqrt{3})^{1,6}$.

Теперь задача сводится к сравнению $(2-\sqrt{3})^{1,5}$ и $(2-\sqrt{3})^{1,6}$. Основание $a = 2-\sqrt{3}$. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $0 < 2-\sqrt{3} < 1$. Основание $a$ находится в интервале $(0; 1)$, значит функция $y=a^x$ убывающая. Сравнивая показатели $1,5 < 1,6$, получаем $(2-\sqrt{3})^{1,5} > (2-\sqrt{3})^{1,6}$.

Ответ: $(2-\sqrt{3})^{1,5} > (2+\sqrt{3})^{-1,6}$.

4. Найдите область значений функции:

1) $y = -7^x$

Область значений функции $f(x) = 7^x$ есть интервал $(0; +\infty)$. Функция $y = -f(x)$ является отражением графика $f(x)$ относительно оси Ox, поэтому её область значений - интервал $(-\infty; 0)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$.

2) $y = (\frac{1}{7})^x - 2$

Область значений показательной функции $f(x) = (\frac{1}{7})^x$ есть интервал $(0; +\infty)$. График функции $y = f(x) - 2$ получен сдвигом графика $f(x)$ на 2 единицы вниз. Следовательно, область значений смещается на 2 вниз и становится $(-2; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (-2; +\infty)$.

3) $y = 7^{|x|}$

Область значений выражения $|x|$ есть $[0; +\infty)$. Так как основание $7 > 1$, функция $f(t) = 7^t$ является возрастающей. Наименьшее значение показателя степени равно 0, поэтому наименьшее значение функции будет $y_{min} = 7^0 = 1$. При увеличении $|x|$ значение функции неограниченно возрастает. Таким образом, область значений функции - $[1; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

4) $y = (\frac{1}{9})^{|\cos x|} + 1$

Область значений функции $\cos x$ есть $[-1; 1]$, а функции $|\cos x|$ - отрезок $[0; 1]$. Пусть $t = |\cos x|$, тогда $0 \le t \le 1$. Рассмотрим функцию $f(t) = (\frac{1}{9})^t$. Так как основание $\frac{1}{9} < 1$, эта функция убывающая. Следовательно, на отрезке $[0; 1]$ она принимает значения от $f(1)$ до $f(0)$.

$f(1) = (\frac{1}{9})^1 = \frac{1}{9}$ (минимальное значение).

$f(0) = (\frac{1}{9})^0 = 1$ (максимальное значение).

Таким образом, область значений функции $(\frac{1}{9})^{|\cos x|}$ есть отрезок $[\frac{1}{9}; 1]$.

Функция $y$ получена добавлением 1. Значит, её область значений - $[\frac{1}{9}+1; 1+1]$, то есть $[\frac{10}{9}; 2]$.

Ответ: $E(y) = [\frac{10}{9}; 2]$.

5. Постройте график функции:

1) $y = (\frac{1}{3})^{x+1}$

График этой функции получается из графика показательной функции $y = (\frac{1}{3})^x$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

1. Строим график $y = (\frac{1}{3})^x$. Это убывающая кривая, проходящая через точки $(-1, 3)$, $(0, 1)$, $(1, \frac{1}{3})$. Горизонтальная асимптота - $y=0$.

2. Сдвигаем этот график на 1 влево. Контрольные точки переходят в $(-2, 3)$, $(-1, 1)$, $(0, \frac{1}{3})$. Асимптота $y=0$ сохраняется.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3})^x$, сдвинутый на 1 единицу влево.

2) $y = |2^x - 4|$

Построение графика выполняется в несколько шагов:

1. Строим график показательной функции $y = 2^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$. Асимптота $y=0$ при $x \to -\infty$.

2. Строим график $y = 2^x - 4$, сдвигая предыдущий график на 4 единицы вниз. Контрольные точки переходят в $(0, -3)$, $(1, -2)$, $(2, 0)$. Асимптота становится $y=-4$. График пересекает ось Ox в точке $(2, 0)$.

3. Строим график $y = |2^x - 4|$. Часть графика $y = 2^x - 4$, которая находится выше или на оси Ox (при $x \ge 2$), остается без изменений. Часть графика, которая находится ниже оси Ox (при $x < 2$), симметрично отражается относительно оси Ox. Точка $(0, -3)$ переходит в $(0, 3)$, асимптота $y=-4$ переходит в асимптоту $y=4$ (при $x \to -\infty$).

Ответ: График функции $y=2^x-4$, у которого часть, лежащая под осью Ox, отражена симметрично относительно этой оси.

6. Решите неравенство $3^{|x|+2} > 2\cos x + 7$

Оценим левую и правую части неравенства.

Левая часть: $f(x) = 3^{|x|+2}$. Так как $|x| \ge 0$, то $|x|+2 \ge 2$. Поскольку основание степени $3 > 1$, функция $y=3^t$ возрастающая. Следовательно, наименьшее значение левой части достигается при $|x|=0$, то есть при $x=0$, и равно $3^{0+2} = 3^2 = 9$. Таким образом, $3^{|x|+2} \ge 9$ для всех $x$. Причем равенство достигается только при $x=0$.

Правая часть: $g(x) = 2\cos x + 7$. Область значений функции $\cos x$ есть $[-1; 1]$. Следовательно, $-2 \le 2\cos x \le 2$, и $5 \le 2\cos x + 7 \le 9$. Таким образом, $2\cos x + 7 \le 9$ для всех $x$. Равенство достигается, когда $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сравним левую и правую части: $f(x) \ge 9$ и $g(x) \le 9$.

Неравенство $f(x) > g(x)$ будет выполняться всегда, кроме случая, когда возможно равенство $f(x) = g(x) = 9$.

Равенство $f(x) = 9$ достигается только при $x=0$.

Равенство $g(x) = 9$ достигается при $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Оба равенства выполняются одновременно только при $x=0$. В этой точке неравенство принимает вид $9 > 9$, что является ложным.

Во всех остальных случаях ($x \ne 0$), $f(x) = 3^{|x|+2} > 9$, а $g(x) = 2\cos x + 7 \le 9$. Следовательно, неравенство $f(x) > g(x)$ всегда истинно.

Таким образом, решение неравенства - это все действительные числа, кроме $x=0$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.