Номер 2, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 2

Показательные уравнения

1. Решите уравнение:

1) $\left(\frac{3}{2}\right)^{1-2x} = \left(\frac{8}{27}\right)^{x+3}$;

2) $3^{x+2} + 4 \cdot 3^{x-1} = 279$;

3) $2^{2x} - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$;

4) $3^{\sin^2x} + 3^{\cos^2x} = 4$;

5) $6 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x - 4^x = 0$;

6) $2^x = 3 - x$.

2. При каких значениях параметра $a$ уравнение $4^x - (a+3) \cdot 2^x + 4a - 4 = 0$ имеет один действительный корень?

1) $(\frac{3}{2})^{1-2x} = (\frac{8}{27})^{x+3}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$. Также, $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$. Следовательно, $\frac{8}{27} = ((\frac{3}{2})^{-1})^3 = (\frac{3}{2})^{-3}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(\frac{3}{2})^{1-2x} = ((\frac{3}{2})^{-3})^{x+3}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(\frac{3}{2})^{1-2x} = (\frac{3}{2})^{-3(x+3)}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$1 - 2x = -3(x+3)$

$1 - 2x = -3x - 9$

$3x - 2x = -9 - 1$

$x = -10$

Ответ: $x = -10$.

2) $3^{x+2} + 4 \cdot 3^{x-1} = 279$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$:

$3^x \cdot 3^2 + 4 \cdot \frac{3^x}{3^1} = 279$

$9 \cdot 3^x + \frac{4}{3} \cdot 3^x = 279$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (9 + \frac{4}{3}) = 279$

$3^x (\frac{27+4}{3}) = 279$

$3^x \cdot \frac{31}{3} = 279$

$3^x = \frac{279 \cdot 3}{31}$

Поскольку $279 = 31 \cdot 9$, получаем:

$3^x = 9 \cdot 3$

$3^x = 27$

$3^x = 3^3$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

3) $2^{2x} - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 10t + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение равно 16. Корни легко находятся: $t_1 = 2$ и $t_2 = 8$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$. Вернемся к исходной переменной $x$:

1. $2^x = t_1 \implies 2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

2. $2^x = t_2 \implies 2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 3$.

4) $3^{\sin^2 x} + 3^{\cos^2 x} = 4$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим в уравнение:

$3^{\sin^2 x} + 3^{1 - \sin^2 x} = 4$

$3^{\sin^2 x} + \frac{3}{3^{\sin^2 x}} = 4$

Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^{\sin^2 x}$. Так как $0 \le \sin^2 x \le 1$, то $3^0 \le 3^{\sin^2 x} \le 3^1$, то есть $1 \le t \le 3$.

Уравнение в новых переменных:

$t + \frac{3}{t} = 4$

Умножим обе части на $t$ (зная, что $t \neq 0$):

$t^2 + 3 = 4t$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $1 \le t \le 3$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1. $3^{\sin^2 x} = 1 \implies 3^{\sin^2 x} = 3^0 \implies \sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $3^{\sin^2 x} = 3 \implies 3^{\sin^2 x} = 3^1 \implies \sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну: $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

5) $6 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x - 4^x = 0$

Это однородное показательное уравнение. Представим $25^x = (5^x)^2$, $10^x = 5^x \cdot 2^x$, $4^x = (2^x)^2$.

$6 \cdot (5^x)^2 - 5 \cdot 5^x \cdot 2^x - (2^x)^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на $4^x = (2^x)^2$, которое не равно нулю ни при каких $x$:

$6 \cdot \frac{(5^x)^2}{(2^x)^2} - 5 \cdot \frac{5^x \cdot 2^x}{(2^x)^2} - \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} = 0$

$6 \cdot (\frac{5}{2})^{2x} - 5 \cdot (\frac{5}{2})^x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = (\frac{5}{2})^x$, где $t > 0$:

$6t^2 - 5t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$t_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{12}$

$t_1 = \frac{5+7}{12} = 1$

$t_2 = \frac{5-7}{12} = -\frac{1}{6}$

Корень $t_2 = -\frac{1}{6}$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Остается один корень $t_1 = 1$.

Вернемся к замене:

$(\frac{5}{2})^x = 1 \implies (\frac{5}{2})^x = (\frac{5}{2})^0 \implies x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

6) $2^x = 3 - x$

Рассмотрим две функции: $f(x) = 2^x$ и $g(x) = 3-x$.

Функция $f(x) = 2^x$ является показательной, она строго возрастает на всей области определения.

Функция $g(x) = 3-x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом, она строго убывает на всей области определения.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.

Подберем корень. Проверим целые значения $x$.

При $x=1$:

Левая часть: $2^1 = 2$.

Правая часть: $3 - 1 = 2$.

Левая часть равна правой, значит $x=1$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, то это и есть решение.

Ответ: $x=1$.

2. Исходное уравнение: $4^x - (a+3) \cdot 2^x + 4a - 4 = 0$.

Это уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену $t = 2^x$. Так как $x$ - действительное число, то $t$ может быть любым положительным числом ($t > 0$). Каждому положительному значению $t$ соответствует единственное значение $x$ (а именно $x = \log_2 t$).

Таким образом, задача сводится к нахождению таких значений параметра $a$, при которых квадратное уравнение

$t^2 - (a+3)t + 4a - 4 = 0$

имеет ровно один положительный корень.

Найдем корни этого уравнения относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = a+3$, а их произведение $t_1 t_2 = 4a - 4 = 4(a-1)$. Легко проверить, что числа $4$ и $a-1$ удовлетворяют этим соотношениям, так как их сумма равна $4 + (a-1) = a+3$, а произведение равно $4(a-1) = 4a-4$.

Следовательно, корни уравнения для $t$: $t_1 = 4$ и $t_2 = a-1$.

Один из корней, $t_1=4$, всегда положителен. Это означает, что одно решение $x=2$ (из $2^x=4$) у исходного уравнения есть всегда.

Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, необходимо, чтобы второй корень для $t$, $t_2 = a-1$, либо не давал новых решений для $x$, либо совпадал с первым. Это возможно в двух случаях:

Случай 1: Второй корень $t_2$ не является положительным, то есть $t_2 \le 0$. В этом случае он не даст действительного решения для $x$.

$a-1 \le 0 \implies a \le 1$.

При таких $a$ единственным положительным корнем для $t$ будет $t_1 = 4$, что дает единственное решение $x=2$.

Случай 2: Второй корень $t_2$ совпадает с первым корнем $t_1$.

$t_2 = t_1 \implies a-1 = 4 \implies a = 5$.

При $a=5$ уравнение для $t$ имеет один корень $t=4$ (кратности 2), что также дает единственное решение $x=2$.

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет один действительный корень при $a \le 1$ или при $a=5$.

Ответ: $a \in (-\infty, 1] \cup \{5\}$.