Номер 6, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Логарифмические уравнения

Решите уравнение:

1) $ \log_7 \log_3 \log_2 x = 0; $

2) $ \log_8 (x^2 - 7x + 4) = \log_8 (x - 3); $

3) $ \log_3 (x + 1) + \log_3 (x + 3) = 1; $

4) $ 0,5 \log_x 49 - 3 \log_7 x = 2; $

5) $ x^{\lg x - 5} = 0,0001; $

6) $ x^{\lg 3} + 3^{\lg x} = 54. $

1) $log_7log_3log_2x = 0$

Вначале определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть строго больше нуля:
1. $x > 0$
2. $log_2x > 0 \implies log_2x > log_21 \implies x > 1$
3. $log_3(log_2x) > 0 \implies log_3(log_2x) > log_31 \implies log_2x > 1 \implies log_2x > log_22 \implies x > 2$
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.

Теперь решим уравнение, последовательно избавляясь от логарифмов, используя определение логарифма ($log_ab = c \iff a^c = b$):
$log_7(log_3(log_2x)) = 0$
$log_3(log_2x) = 7^0$
$log_3(log_2x) = 1$
$log_2x = 3^1$
$log_2x = 3$
$x = 2^3$
$x = 8$

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $8 > 2$. Корень подходит.
Ответ: $8$

2) $log_8(x^2 - 7x + 4) = log_8(x - 3)$

ОДЗ: Аргументы логарифмов должны быть положительны.
$\begin{cases} x^2 - 7x + 4 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства следует $x > 3$. Проверим найденные корни на соответствие этому условию.

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$x^2 - 7x + 4 = x - 3$
$x^2 - 8x + 7 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Проверка корней по ОДЗ:
Для $x_1 = 1$: $1 - 3 = -2 < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > 3$, поэтому он посторонний.
Для $x_2 = 7$: $7 - 3 = 4 > 0$. Проверим второе условие: $7^2 - 7 \cdot 7 + 4 = 49 - 49 + 4 = 4 > 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $7$

3) $log_3(x + 1) + log_3(x + 3) = 1$

ОДЗ:
$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > -3 \end{cases} \implies x > -1$

Используем свойство суммы логарифмов: $log_a b + log_a c = log_a (bc)$.
$log_3((x + 1)(x + 3)) = 1$
По определению логарифма:
$(x + 1)(x + 3) = 3^1$
$x^2 + 3x + x + 3 = 3$
$x^2 + 4x = 0$
$x(x + 4) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -4$.

Проверка корней по ОДЗ ($x > -1$):
$x_1 = 0$ удовлетворяет условию ($0 > -1$).
$x_2 = -4$ не удовлетворяет условию ($-4 \ngtr -1$), это посторонний корень.
Ответ: $0$

4) $0,5log_x49 - 3log_7x = 2$

ОДЗ: основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице, а аргумент — больше нуля.
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Приведем логарифмы к одному основанию, например, к 7. Используем формулу перехода к новому основанию $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$ и свойство $log_a b^n = n \cdot log_a b$.
$0,5log_x(7^2) - 3log_7x = 2$
$0,5 \cdot 2 \cdot log_x7 - 3log_7x = 2$
$log_x7 - 3log_7x = 2$
$\frac{1}{log_7x} - 3log_7x = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_7x$.
$\frac{1}{t} - 3t = 2$
Умножим обе части на $t$ (при этом $t \neq 0$, что соответствует $x \neq 1$):
$1 - 3t^2 = 2t$
$3t^2 + 2t - 1 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$t_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$t_2 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Возвращаемся к исходной переменной:
1) $log_7x = \frac{1}{3} \implies x = 7^{1/3} = \sqrt[3]{7}$
2) $log_7x = -1 \implies x = 7^{-1} = \frac{1}{7}$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\sqrt[3]{7}; \frac{1}{7}$

5) $x^{lgx - 5} = 0,0001$

ОДЗ: $x > 0$, так как $x$ является и основанием степени, и аргументом логарифма.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
$lg(x^{lgx - 5}) = lg(0,0001)$
$lg(x^{lgx - 5}) = lg(10^{-4})$
Используя свойство логарифма степени $log_a b^n = n \cdot log_a b$:
$(lgx - 5) \cdot lgx = -4$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = lgx$.
$(t - 5)t = -4$
$t^2 - 5t + 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

Возвращаемся к исходной переменной:
1) $lgx = 1 \implies x = 10^1 = 10$
2) $lgx = 4 \implies x = 10^4 = 10000$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $10; 10000$

6) $x^{lg3} + 3^{lgx} = 54$

ОДЗ: $x > 0$, так как $x$ является аргументом логарифма.

Используем основное логарифмическое тождество в виде $a^{log_c b} = b^{log_c a}$.
В нашем случае $x^{lg3} = 3^{lgx}$.
Тогда уравнение принимает вид:
$3^{lgx} + 3^{lgx} = 54$
$2 \cdot 3^{lgx} = 54$
$3^{lgx} = 27$
$3^{lgx} = 3^3$
Приравниваем показатели степени:
$lgx = 3$
$x = 10^3 = 1000$

Проверяем корень по ОДЗ: $1000 > 0$. Корень подходит.
Ответ: $1000$