Номер 13, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 13

Множество комплексных чисел

1. Дано: $z_1 = 1 + 2i$, $z_2 = 2 - 3i$. Вычислите:

1) $z_1 + 3z_2$;

2) $2z_1 - \overline{z_2}$;

3) $|z_1 z_2|$;

4) $\frac{z_1}{z_2}$.

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 4i)(1 - 4i) - i(5 + 2i)^2$;

2) $\frac{1 + 3i}{1 - 3i} - \frac{1 - 3i}{1 + 3i}$;

3) $(1 - 2i)^4$.

3. Найдите все такие комплексные числа $z$, что $z^2 = -3 + 4i$.

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + \dots + i^{25}$.

1. Дано: $z_1 = 1 + 2i$, $z_2 = 2 - 3i$. Вычислите:

1) $z_1 + 3z_2$

Подставляем значения $z_1$ и $z_2$ в выражение и выполняем арифметические операции:

$z_1 + 3z_2 = (1 + 2i) + 3(2 - 3i) = 1 + 2i + 6 - 9i$

Группируем действительные и мнимые части:

$(1 + 6) + (2 - 9)i = 7 - 7i$

Ответ: $7 - 7i$.

2) $2z_1 - \overline{z_2}$

Находим комплексно-сопряженное число для $z_2 = 2 - 3i$, которым является $\overline{z_2} = 2 + 3i$.

Подставляем значения в выражение:

$2z_1 - \overline{z_2} = 2(1 + 2i) - (2 + 3i) = 2 + 4i - 2 - 3i$

Группируем действительные и мнимые части:

$(2 - 2) + (4 - 3)i = 0 + 1i = i$

Ответ: $i$.

3) $|z_1 z_2|$

Используем свойство модуля произведения: $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.

Находим модуль каждого числа:

$|z_1| = |1 + 2i| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

$|z_2| = |2 - 3i| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Перемножаем модули:

$|z_1 z_2| = \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{65}$

Ответ: $\sqrt{65}$.

4) $\frac{z_1}{z_2}$

Для выполнения деления умножаем числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю ($ \overline{z_2} = 2 + 3i $):

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + 2i}{2 - 3i} = \frac{(1 + 2i)(2 + 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)}$

Вычисляем числитель:

$(1 + 2i)(2 + 3i) = 2 + 3i + 4i + 6i^2 = 2 + 7i - 6 = -4 + 7i$

Вычисляем знаменатель:

$(2 - 3i)(2 + 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - 9i^2 = 4 + 9 = 13$

Записываем результат:

$\frac{-4 + 7i}{13} = -\frac{4}{13} + \frac{7}{13}i$

Ответ: $-\frac{4}{13} + \frac{7}{13}i$.

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 4i)(1 - 4i) - i(5 + 2i)^2$

Упрощаем по частям. Первое слагаемое по формуле разности квадратов:

$(1 + 4i)(1 - 4i) = 1^2 - (4i)^2 = 1 - 16i^2 = 1 + 16 = 17$

Упрощаем второе слагаемое. Сначала возводим в квадрат:

$(5 + 2i)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2i + (2i)^2 = 25 + 20i + 4i^2 = 25 + 20i - 4 = 21 + 20i$

Затем умножаем на $i$:

$i(21 + 20i) = 21i + 20i^2 = 21i - 20 = -20 + 21i$

Вычитаем второе из первого:

$17 - (-20 + 21i) = 17 + 20 - 21i = 37 - 21i$

Ответ: $37 - 21i$.

2) $\frac{1 + 3i}{1 - 3i} - \frac{1 - 3i}{1 + 3i}$

Приводим к общему знаменателю $(1 - 3i)(1 + 3i)$:

$\frac{(1 + 3i)^2 - (1 - 3i)^2}{(1 - 3i)(1 + 3i)}$

Знаменатель: $(1 - 3i)(1 + 3i) = 1^2 - (3i)^2 = 1 + 9 = 10$

Числитель: $(1 + 3i)^2 - (1 - 3i)^2 = (1 + 6i + 9i^2) - (1 - 6i + 9i^2) = (1 + 6i - 9) - (1 - 6i - 9) = (-8 + 6i) - (-8 - 6i) = -8 + 6i + 8 + 6i = 12i$

Получаем:

$\frac{12i}{10} = \frac{6}{5}i$

Ответ: $\frac{6}{5}i$.

3) $(1 - 2i)^4$

Представим степень как $((1 - 2i)^2)^2$. Сначала возведем в квадрат:

$(1 - 2i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2i + (2i)^2 = 1 - 4i + 4i^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i$

Теперь возведем результат в квадрат:

$(-3 - 4i)^2 = (-(3 + 4i))^2 = (3 + 4i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i$

Ответ: $-7 + 24i$.

3. Найдите все такие комплексные числа $z$, что $z^2 = -3 + 4i$.

Пусть $z = x + yi$. Тогда $z^2 = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.

Приравниваем действительные и мнимые части к $-3 + 4i$:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -3 \\ 2xy = 4 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = \frac{2}{x}$. Подставляем в первое:

$x^2 - (\frac{2}{x})^2 = -3 \implies x^2 - \frac{4}{x^2} = -3$

Домножаем на $x^2$: $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$.

Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение $t^2 + 3t - 4 = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -4$. Корень $t_2 = -4$ не подходит, так как $t \ge 0$.

Значит, $x^2 = 1$, откуда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Находим соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = \frac{2}{1} = 2$. Получаем $z_1 = 1 + 2i$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = \frac{2}{-1} = -2$. Получаем $z_2 = -1 - 2i$.

Ответ: $1 + 2i$ и $-1 - 2i$.

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + ... + i^{25}$.

Это сумма 26 членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = i$.

Степени мнимой единицы $i$ повторяются с циклом 4: $i, -1, -i, 1$. Сумма каждых четырех последовательных степеней равна $0$. Например, $i + i^2 + i^3 + i^4 = i - 1 - i + 1 = 0$. Аналогично, $1 + i + i^2 + i^3 = 1 + i - 1 - i = 0$.

В нашей сумме 26 слагаемых (от $i^0$ до $i^{25}$). Мы можем разбить их на группы по 4:

$26 = 6 \cdot 4 + 2$.

Сумма состоит из 6 полных групп по 4 слагаемых и еще двух слагаемых.

$S = (1 + i + i^2 + i^3) + (i^4 + ... + i^7) + ... + (i^{20} + ... + i^{23}) + i^{24} + i^{25}$

Сумма каждой из 6 групп равна 0. Поэтому сумма первых 24 членов равна 0.

$S = 0 + i^{24} + i^{25}$

Вычисляем оставшиеся члены:

$i^{24} = (i^4)^6 = 1^6 = 1$

$i^{25} = i^{24} \cdot i = 1 \cdot i = i$

Следовательно, сумма равна $1 + i$.

Ответ: $1 + i$.