Страница 9 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл.

Вычисление объёмов тел

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = -x^2 + 2x + 1$ и $y = x^2 - 4x + 5$;

2) $y = x$ и $y = |x^2 - 2x|$.

2. Найдите, при каком значении параметра $a$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 6x^2$ и прямыми $y = 0, x = a - 2, x = a$, принимает наименьшее значение.

3. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите

$\int_3^6 \sqrt{6x - x^2} dx.$

4. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x - 1}$ и прямыми $x = 3$ и $y = 0$.

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = -x^2 + 2x + 1$ и $y = x^2 - 4x + 5$

Сначала найдем точки пересечения графиков, приравняв выражения для $y$:

$-x^2 + 2x + 1 = x^2 - 4x + 5$

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решая квадратное уравнение, находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Это будут пределы интегрирования.

Определим, какая функция находится выше на интервале $(1, 2)$. Возьмем пробную точку, например, $x = 1.5$:

$y_1 = -(1.5)^2 + 2(1.5) + 1 = -2.25 + 3 + 1 = 1.75$

$y_2 = (1.5)^2 - 4(1.5) + 5 = 2.25 - 6 + 5 = 1.25$

Поскольку $y_1 > y_2$ на интервале $(1, 2)$, график функции $y = -x^2 + 2x + 1$ лежит выше графика $y = x^2 - 4x + 5$.

Площадь $S$ фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{1}^{2} ((-x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 4x + 5)) \,dx = \int_{1}^{2} (-2x^2 + 6x - 4) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -2\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} - 4x \right]_{1}^{2} = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 - 4x \right]_{1}^{2}$

$S = \left(-\frac{2}{3}(2)^3 + 3(2)^2 - 4(2)\right) - \left(-\frac{2}{3}(1)^3 + 3(1)^2 - 4(1)\right)$

$S = \left(-\frac{16}{3} + 12 - 8\right) - \left(-\frac{2}{3} + 3 - 4\right) = \left(-\frac{16}{3} + 4\right) - \left(-\frac{2}{3} - 1\right)$

$S = -\frac{4}{3} - \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) $y = x$ и $y = |x^2 - 2x|$

Раскроем модуль в функции $y = |x^2 - 2x|$: $y = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{при } x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty) \\ -(x^2 - 2x) = 2x - x^2, & \text{при } x \in (0, 2) \end{cases}$

Найдем точки пересечения графика $y = x$ с каждой частью функции $y = |x^2 - 2x|$:

Для $x \le 0$ или $x \ge 2$: $x = x^2 - 2x \implies x^2 - 3x = 0 \implies x(x-3)=0$. Корни $x=0$ и $x=3$ удовлетворяют условию.

Для $0 < x < 2$: $x = 2x - x^2 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1)=0$. Корень $x=1$ удовлетворяет условию ($x=0$ не входит в интервал).

Точки пересечения: $x=0, x=1, x=3$. Площадь нужно разбить на три интеграла: от 0 до 1, от 1 до 2 и от 2 до 3.

На интервале $(0, 1)$: $y = 2x - x^2$ лежит выше $y=x$. Площадь $S_1 = \int_{0}^{1} ((2x - x^2) - x) \,dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx$.

На интервале $(1, 2)$: $y = x$ лежит выше $y = 2x - x^2$. Площадь $S_2 = \int_{1}^{2} (x - (2x - x^2)) \,dx = \int_{1}^{2} (x^2 - x) \,dx$.

На интервале $(2, 3)$: $y = x$ лежит выше $y = x^2 - 2x$. Площадь $S_3 = \int_{2}^{3} (x - (x^2 - 2x)) \,dx = \int_{2}^{3} (3x - x^2) \,dx$.

Вычислим интегралы:

$S_1 = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

$S_2 = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \left(\frac{8}{3} - \frac{4}{2}\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3} - (-\frac{1}{6}) = \frac{5}{6}$

$S_3 = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{3} = \left(\frac{27}{2} - \frac{27}{3}\right) - \left(\frac{12}{2} - \frac{8}{3}\right) = \left(\frac{27}{2} - 9\right) - \left(6 - \frac{8}{3}\right) = \frac{9}{2} - \frac{10}{3} = \frac{7}{6}$

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{7}{6} = \frac{13}{6}$.

Ответ: $\frac{13}{6}$.

2. Найдите, при каком значении параметра $a$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 6x^2$ и прямыми $y = 0, x = a - 2, x = a$, принимает наименьшее значение.

Фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху параболой $y=6x^2$ (которая всегда неотрицательна), снизу осью $y=0$, и по бокам прямыми $x=a-2$ и $x=a$.

Площадь $S$ этой фигуры можно найти с помощью определенного интеграла:

$S(a) = \int_{a-2}^{a} 6x^2 \,dx$

Вычислим этот интеграл:

$S(a) = \left[ 6\frac{x^3}{3} \right]_{a-2}^{a} = [2x^3]_{a-2}^{a} = 2a^3 - 2(a-2)^3$

Раскроем скобки:

$S(a) = 2a^3 - 2(a^3 - 6a^2 + 12a - 8) = 2a^3 - 2a^3 + 12a^2 - 24a + 16$

$S(a) = 12a^2 - 24a + 16$

Получили квадратичную функцию от $a$. График этой функции — парабола с ветвями вверх, поэтому ее наименьшее значение достигается в вершине. Координату вершины $a_0$ найдем по формуле $a_0 = -\frac{b}{2c}$:

$a = -\frac{-24}{2 \cdot 12} = \frac{24}{24} = 1$

Таким образом, площадь принимает наименьшее значение при $a=1$.

Ответ: $a=1$.

3. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите $\int_{3}^{6} \sqrt{6x - x^2} \,dx$.

Данный интеграл представляет собой площадь под кривой $y = \sqrt{6x - x^2}$ на отрезке $[3, 6]$.

Рассмотрим уравнение кривой $y = \sqrt{6x - x^2}$. Возведем обе части в квадрат (учитывая, что $y \ge 0$):

$y^2 = 6x - x^2$

$x^2 - 6x + y^2 = 0$

Выделим полный квадрат для $x$:

$(x^2 - 6x + 9) - 9 + y^2 = 0$

$(x - 3)^2 + y^2 = 9$

Это уравнение окружности с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом $r=3$. Исходное уравнение $y = \sqrt{6x - x^2}$ описывает верхнюю половину этой окружности.

Интеграл вычисляется по отрезку от $x=3$ до $x=6$. Этот отрезок соответствует части окружности от ее центра до правого края. Таким образом, искомая площадь — это площадь четверти круга радиуса 3.

Площадь всего круга равна $A = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$.

Площадь четверти круга равна:

$S = \frac{1}{4} A = \frac{9\pi}{4}$

Ответ: $\frac{9\pi}{4}$.

4. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x-1}$ и прямыми $x=3$ и $y=0$.

Фигура ограничена кривой $y = \sqrt{x-1}$, осью абсцисс ($y=0$) и прямой $x=3$. Кривая $y=\sqrt{x-1}$ пересекает ось абсцисс в точке $x=1$. Таким образом, фигура расположена на отрезке $x \in [1, 3]$.

Объём тела вращения вокруг оси абсцисс вычисляется по формуле дискового метода:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx$

В нашем случае $f(x) = \sqrt{x-1}$, $a=1$, $b=3$.

$V = \pi \int_{1}^{3} (\sqrt{x-1})^2 \,dx = \pi \int_{1}^{3} (x-1) \,dx$

Вычислим интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_{1}^{3} = \pi \left( (\frac{3^2}{2} - 3) - (\frac{1^2}{2} - 1) \right)$

$V = \pi \left( (\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1) \right) = \pi \left( \frac{3}{2} - (-\frac{1}{2}) \right) = \pi (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) = \pi \cdot \frac{4}{2} = 2\pi$

Ответ: $2\pi$.

Самостоятельная работа № 13

Множество комплексных чисел

1. Дано: $z_1 = 1 + 2i$, $z_2 = 2 - 3i$. Вычислите:

1) $z_1 + 3z_2$;

2) $2z_1 - \overline{z_2}$;

3) $|z_1 z_2|$;

4) $\frac{z_1}{z_2}$.

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 4i)(1 - 4i) - i(5 + 2i)^2$;

2) $\frac{1 + 3i}{1 - 3i} - \frac{1 - 3i}{1 + 3i}$;

3) $(1 - 2i)^4$.

3. Найдите все такие комплексные числа $z$, что $z^2 = -3 + 4i$.

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + \dots + i^{25}$.

1. Дано: $z_1 = 1 + 2i$, $z_2 = 2 - 3i$. Вычислите:

1) $z_1 + 3z_2$

Подставляем значения $z_1$ и $z_2$ в выражение и выполняем арифметические операции:

$z_1 + 3z_2 = (1 + 2i) + 3(2 - 3i) = 1 + 2i + 6 - 9i$

Группируем действительные и мнимые части:

$(1 + 6) + (2 - 9)i = 7 - 7i$

Ответ: $7 - 7i$.

2) $2z_1 - \overline{z_2}$

Находим комплексно-сопряженное число для $z_2 = 2 - 3i$, которым является $\overline{z_2} = 2 + 3i$.

Подставляем значения в выражение:

$2z_1 - \overline{z_2} = 2(1 + 2i) - (2 + 3i) = 2 + 4i - 2 - 3i$

Группируем действительные и мнимые части:

$(2 - 2) + (4 - 3)i = 0 + 1i = i$

Ответ: $i$.

3) $|z_1 z_2|$

Используем свойство модуля произведения: $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.

Находим модуль каждого числа:

$|z_1| = |1 + 2i| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

$|z_2| = |2 - 3i| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Перемножаем модули:

$|z_1 z_2| = \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{65}$

Ответ: $\sqrt{65}$.

4) $\frac{z_1}{z_2}$

Для выполнения деления умножаем числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю ($ \overline{z_2} = 2 + 3i $):

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + 2i}{2 - 3i} = \frac{(1 + 2i)(2 + 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)}$

Вычисляем числитель:

$(1 + 2i)(2 + 3i) = 2 + 3i + 4i + 6i^2 = 2 + 7i - 6 = -4 + 7i$

Вычисляем знаменатель:

$(2 - 3i)(2 + 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - 9i^2 = 4 + 9 = 13$

Записываем результат:

$\frac{-4 + 7i}{13} = -\frac{4}{13} + \frac{7}{13}i$

Ответ: $-\frac{4}{13} + \frac{7}{13}i$.

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 4i)(1 - 4i) - i(5 + 2i)^2$

Упрощаем по частям. Первое слагаемое по формуле разности квадратов:

$(1 + 4i)(1 - 4i) = 1^2 - (4i)^2 = 1 - 16i^2 = 1 + 16 = 17$

Упрощаем второе слагаемое. Сначала возводим в квадрат:

$(5 + 2i)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2i + (2i)^2 = 25 + 20i + 4i^2 = 25 + 20i - 4 = 21 + 20i$

Затем умножаем на $i$:

$i(21 + 20i) = 21i + 20i^2 = 21i - 20 = -20 + 21i$

Вычитаем второе из первого:

$17 - (-20 + 21i) = 17 + 20 - 21i = 37 - 21i$

Ответ: $37 - 21i$.

2) $\frac{1 + 3i}{1 - 3i} - \frac{1 - 3i}{1 + 3i}$

Приводим к общему знаменателю $(1 - 3i)(1 + 3i)$:

$\frac{(1 + 3i)^2 - (1 - 3i)^2}{(1 - 3i)(1 + 3i)}$

Знаменатель: $(1 - 3i)(1 + 3i) = 1^2 - (3i)^2 = 1 + 9 = 10$

Числитель: $(1 + 3i)^2 - (1 - 3i)^2 = (1 + 6i + 9i^2) - (1 - 6i + 9i^2) = (1 + 6i - 9) - (1 - 6i - 9) = (-8 + 6i) - (-8 - 6i) = -8 + 6i + 8 + 6i = 12i$

Получаем:

$\frac{12i}{10} = \frac{6}{5}i$

Ответ: $\frac{6}{5}i$.

3) $(1 - 2i)^4$

Представим степень как $((1 - 2i)^2)^2$. Сначала возведем в квадрат:

$(1 - 2i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2i + (2i)^2 = 1 - 4i + 4i^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i$

Теперь возведем результат в квадрат:

$(-3 - 4i)^2 = (-(3 + 4i))^2 = (3 + 4i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i$

Ответ: $-7 + 24i$.

3. Найдите все такие комплексные числа $z$, что $z^2 = -3 + 4i$.

Пусть $z = x + yi$. Тогда $z^2 = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.

Приравниваем действительные и мнимые части к $-3 + 4i$:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -3 \\ 2xy = 4 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = \frac{2}{x}$. Подставляем в первое:

$x^2 - (\frac{2}{x})^2 = -3 \implies x^2 - \frac{4}{x^2} = -3$

Домножаем на $x^2$: $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$.

Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение $t^2 + 3t - 4 = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -4$. Корень $t_2 = -4$ не подходит, так как $t \ge 0$.

Значит, $x^2 = 1$, откуда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Находим соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = \frac{2}{1} = 2$. Получаем $z_1 = 1 + 2i$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = \frac{2}{-1} = -2$. Получаем $z_2 = -1 - 2i$.

Ответ: $1 + 2i$ и $-1 - 2i$.

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + ... + i^{25}$.

Это сумма 26 членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = i$.

Степени мнимой единицы $i$ повторяются с циклом 4: $i, -1, -i, 1$. Сумма каждых четырех последовательных степеней равна $0$. Например, $i + i^2 + i^3 + i^4 = i - 1 - i + 1 = 0$. Аналогично, $1 + i + i^2 + i^3 = 1 + i - 1 - i = 0$.

В нашей сумме 26 слагаемых (от $i^0$ до $i^{25}$). Мы можем разбить их на группы по 4:

$26 = 6 \cdot 4 + 2$.

Сумма состоит из 6 полных групп по 4 слагаемых и еще двух слагаемых.

$S = (1 + i + i^2 + i^3) + (i^4 + ... + i^7) + ... + (i^{20} + ... + i^{23}) + i^{24} + i^{25}$

Сумма каждой из 6 групп равна 0. Поэтому сумма первых 24 членов равна 0.

$S = 0 + i^{24} + i^{25}$

Вычисляем оставшиеся члены:

$i^{24} = (i^4)^6 = 1^6 = 1$

$i^{25} = i^{24} \cdot i = 1 \cdot i = i$

Следовательно, сумма равна $1 + i$.

Ответ: $1 + i$.