Страница 8 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 10

Правила нахождения первообразной

1. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x^3 + \frac{6}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

2) $f(x) = 3\cos x - \frac{4}{\sin^2 x}$ на промежутке $(0; \pi)$.

2. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, график которой проходит через данную точку:

1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{9x-2}}$, $I = (\frac{2}{9}; +\infty)$, $A(3; 1)$;

2) $f(x) = e^{-x} + \frac{1}{3x-1}$, $I = (-\infty; \frac{1}{3})$, $M(0; 0)$.

3. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = 9t^2 + 1$. Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 2$ с точка находилась на расстоянии 42 м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

4. Найдите $\int \sin 7x \cos 4x \, dx$.

1) Представим функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = x^3 + 6x^{-1/2}$. Общий вид первообразной $F(x)$ находим, интегрируя каждое слагаемое по отдельности, используя формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $F(x) = \int (x^3 + 6x^{-1/2}) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + 6 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^4}{4} + 6 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^4}{4} + 12\sqrt{x} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + 12\sqrt{x} + C$.

2) Для нахождения общего вида первообразной $F(x)$ воспользуемся таблицей первообразных: $F(x) = \int (3\cos x - \frac{4}{\sin^2 x}) dx$. Первообразная для $3\cos x$ равна $3\sin x$. Первообразная для $-\frac{4}{\sin^2 x}$ равна $-4(-\cot x) = 4\cot x$. Следовательно, $F(x) = 3\sin x + 4\cot x + C$.
Ответ: $F(x) = 3\sin x + 4\cot x + C$.

1) Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{9x-2}} = (9x-2)^{-1/2}$. $F(x) = \int (9x-2)^{-1/2} dx = \frac{1}{9} \cdot \frac{(9x-2)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{9} \cdot \frac{(9x-2)^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{9}\sqrt{9x-2} + C$. График первообразной проходит через точку $A(3; 1)$, значит $F(3)=1$. Подставим значения $x=3$ и $F(x)=1$: $1 = \frac{2}{9}\sqrt{9 \cdot 3 - 2} + C$
$1 = \frac{2}{9}\sqrt{25} + C$
$1 = \frac{2}{9} \cdot 5 + C$
$1 = \frac{10}{9} + C$
$C = 1 - \frac{10}{9} = -\frac{1}{9}$. Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = \frac{2}{9}\sqrt{9x-2} - \frac{1}{9}$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{9}\sqrt{9x-2} - \frac{1}{9}$.

2) Находим общий вид первообразной для $f(x) = e^{-x} + \frac{1}{3x-1}$: $F(x) = \int (e^{-x} + \frac{1}{3x-1}) dx = -e^{-x} + \frac{1}{3}\ln|3x-1| + C$. На промежутке $I = (-\infty; \frac{1}{3})$ выражение $3x-1$ всегда отрицательно, поэтому $|3x-1| = -(3x-1) = 1-3x$. Тогда $F(x) = -e^{-x} + \frac{1}{3}\ln(1-3x) + C$. График первообразной проходит через точку $M(0; 0)$, значит $F(0)=0$. Подставим значения: $0 = -e^{-0} + \frac{1}{3}\ln(1-3 \cdot 0) + C$
$0 = -1 + \frac{1}{3}\ln(1) + C$
$0 = -1 + 0 + C$
$C = 1$. Искомая первообразная: $F(x) = -e^{-x} + \frac{1}{3}\ln(1-3x) + 1$.
Ответ: $F(x) = -e^{-x} + \frac{1}{3}\ln(1-3x) + 1$.

3. Зависимость координаты от времени $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$. Найдем общий вид первообразной для $v(t) = 9t^2 + 1$: $s(t) = \int (9t^2 + 1) dt = 9 \cdot \frac{t^3}{3} + t + C = 3t^3 + t + C$. По условию, в момент времени $t = 2$ с точка находилась на расстоянии 42 м от начала координат, то есть $s(2) = 42$. Подставим эти значения в найденное уравнение для $s(t)$: $42 = 3 \cdot (2)^3 + 2 + C$
$42 = 3 \cdot 8 + 2 + C$
$42 = 24 + 2 + C$
$42 = 26 + C$
$C = 42 - 26 = 16$. Таким образом, формула зависимости координаты от времени: $s(t) = 3t^3 + t + 16$.
Ответ: $s(t) = 3t^3 + t + 16$.

4. Для нахождения интеграла $\int \sin 7x \cos 4x dx$ воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$. Применим эту формулу к подынтегральному выражению, где $\alpha=7x$ и $\beta=4x$: $\sin 7x \cos 4x = \frac{1}{2}(\sin(7x+4x) + \sin(7x-4x)) = \frac{1}{2}(\sin(11x) + \sin(3x))$. Теперь интегрируем полученное выражение: $\int \frac{1}{2}(\sin(11x) + \sin(3x)) dx = \frac{1}{2} \int (\sin(11x) + \sin(3x)) dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{11}\cos(11x) - \frac{1}{3}\cos(3x) \right) + C = -\frac{1}{22}\cos(11x) - \frac{1}{6}\cos(3x) + C$.
Ответ: $-\frac{1}{22}\cos(11x) - \frac{1}{6}\cos(3x) + C$.

Самостоятельная работа № 11

Площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл

1. Вычислите интеграл:

1) $\int_{0}^{5} (x^2 - 3x)dx$

2) $\int_{-2.5}^{-2} \frac{8dx}{(2x + 3)^3}$

3) $\int_{-3}^{-1} \left(\frac{4}{x} - x\right)dx$

4) $\int_{-\pi}^{0} 2\cos^2 \frac{x}{8}dx$

5) $\int_{1}^{2} \frac{x^2 + e^x}{x^2 e^x}dx$

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = \sin 2x$ и прямыми $y = 0, x = \frac{\pi}{8}$ и $x = \frac{3\pi}{8}$;

2) графиками функций $y = \sqrt{x+1}$ и $y = \sqrt{7-x}$ и осью абсцисс.

1. Вычислите интеграл:

1) $ \int_{0}^{5} (x^2 - 3x)dx = \left( \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} \right) \bigg|_{0}^{5} = \left( \frac{5^3}{3} - \frac{3 \cdot 5^2}{2} \right) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right) = \frac{125}{3} - \frac{75}{2} = \frac{250 - 225}{6} = \frac{25}{6} $. Ответ: $ \frac{25}{6} $.

2) $ \int_{-2.5}^{-2} \frac{8dx}{(2x+3)^3} = 8 \int_{-2.5}^{-2} (2x+3)^{-3}dx $. Первообразная равна $ 8 \cdot \frac{(2x+3)^{-2}}{-2 \cdot 2} = -2(2x+3)^{-2} = -\frac{2}{(2x+3)^2} $. $ \left( -\frac{2}{(2x+3)^2} \right) \bigg|_{-2.5}^{-2} = \left( -\frac{2}{(2(-2)+3)^2} \right) - \left( -\frac{2}{(2(-2.5)+3)^2} \right) = \left( -\frac{2}{(-1)^2} \right) - \left( -\frac{2}{(-2)^2} \right) = -2 - (-\frac{2}{4}) = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} $. Ответ: $ -\frac{3}{2} $.

3) $ \int_{-3}^{-1} (\frac{4}{x} - x)dx = \left( 4\ln|x| - \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{-3}^{-1} = (4\ln|-1| - \frac{(-1)^2}{2}) - (4\ln|-3| - \frac{(-3)^2}{2}) = (4\ln(1) - \frac{1}{2}) - (4\ln(3) - \frac{9}{2}) = (0 - \frac{1}{2}) - 4\ln(3) + \frac{9}{2} = \frac{8}{2} - 4\ln(3) = 4 - 4\ln(3) $. Ответ: $ 4 - 4\ln(3) $.

4) Используем формулу понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} $. Тогда $ 2\cos^2(\frac{x}{8}) = 1 + \cos(\frac{x}{4}) $. $ \int_{-\pi}^{0} 2\cos^2(\frac{x}{8})dx = \int_{-\pi}^{0} (1 + \cos(\frac{x}{4}))dx = \left( x + 4\sin(\frac{x}{4}) \right) \bigg|_{-\pi}^{0} = (0 + 4\sin(0)) - (-\pi + 4\sin(-\frac{\pi}{4})) = 0 - (-\pi + 4(-\frac{\sqrt{2}}{2})) = \pi + 2\sqrt{2} $. Ответ: $ \pi + 2\sqrt{2} $.

5) Преобразуем подынтегральное выражение: $ \frac{x^2 + e^x}{x^2 e^x} = \frac{x^2}{x^2 e^x} + \frac{e^x}{x^2 e^x} = \frac{1}{e^x} + \frac{1}{x^2} = e^{-x} + x^{-2} $. $ \int_{1}^{2} (e^{-x} + x^{-2})dx = \left( -e^{-x} - \frac{1}{x} \right) \bigg|_{1}^{2} = (-e^{-2} - \frac{1}{2}) - (-e^{-1} - \frac{1}{1}) = -\frac{1}{e^2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{e} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} $. Ответ: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} $.

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) Площадь фигуры $ S $ вычисляется как определенный интеграл от функции на заданном отрезке. На отрезке $ [\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}] $ функция $ y = \sin(2x) $ неотрицательна, так как ее аргумент $ 2x $ находится в пределах от $ \frac{\pi}{4} $ до $ \frac{3\pi}{4} $. $ S = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin(2x)dx = \left( -\frac{1}{2}\cos(2x) \right) \bigg|_{\pi/8}^{3\pi/8} = -\frac{1}{2}(\cos(2 \cdot \frac{3\pi}{8}) - \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8})) = -\frac{1}{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4})) = -\frac{1}{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{1}{2}(-\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

2) Найдем точки пересечения графиков: $ \sqrt{x+1} = \sqrt{7-x} \Rightarrow x+1=7-x \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3 $. Точки пересечения с осью абсцисс: $ \sqrt{x+1}=0 \Rightarrow x=-1 $; $ \sqrt{7-x}=0 \Rightarrow x=7 $. Фигура ограничена снизу осью $ y=0 $, а сверху — графиком $ y=\sqrt{x+1} $ на отрезке $ [-1, 3] $ и графиком $ y=\sqrt{7-x} $ на отрезке $ [3, 7] $. Площадь $ S $ равна сумме двух интегралов: $ S = \int_{-1}^{3} \sqrt{x+1}dx + \int_{3}^{7} \sqrt{7-x}dx $. Вычисляем первый интеграл: $ \int_{-1}^{3} (x+1)^{1/2}dx = \left( \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} \right) \bigg|_{-1}^{3} = \frac{2}{3}(4^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} $. Вычисляем второй интеграл: $ \int_{3}^{7} (7-x)^{1/2}dx = \left( -\frac{2}{3}(7-x)^{3/2} \right) \bigg|_{3}^{7} = -\frac{2}{3}(0^{3/2} - 4^{3/2}) = -\frac{2}{3}(-8) = \frac{16}{3} $. Общая площадь: $ S = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} $. Ответ: $ \frac{32}{3} $.